第二章-因子投资方法论

前面提到，因子是一个抽象概念，它不是因子收益率$\lambda$，也不是某个变量。
那么，对于定价模型${\beta }_i^{\prime }\lambda$，因子暴露和因子收益率怎么计量呢？此为实证因子检验所要解决的问题。
要解决这个问题，要用到变量值，此时称变量为构造因子的变量。

投资组合排序法

围绕估值这类股票的财务信息，或是量价数据构建的因子为风格因子，它是所有股票内生性的、共有的。风格因子适用于排序法。与此相对的，GDP、供应链等宏观、另类数据，不适用于排序法。
排序法是根据某个变量，将股票排序，构建投资组合。实际上用个股的变量值大小代替了其在因子上暴露的高低。
比如价值因子，采用账面市值比BM为排序变量构建。BM高的股票，是低估值股票，未来可能有更高的收益率。

单变量排序

具体操作方法如下：

1. 排序：首先确定股票池，并将股票池中的全部股票在截面上按照排序变量的取值，从高到低（或反之，根据变量性质确定）将股票排序。
2. 分组：按排名高低将全部股票分为$L$组。做多排名最高的股票组合，同时做空排名最低的股票组合，构造多空对冲的股票组合。这个股票组合的多空收益率，即作为因子收益率。
3. 定期更新：定期完成以上两步，更新股票组合，称为再平衡(rebalance)。在时间序列上反复进行，即得到因子收益率的时间序列${\lambda }_t$。
   接着以价值因子为例，选择股票池后，将股票按照BM变量分成10组。BM最高的变量为H组，BM最低的变量为L组，因子收益率用H组减去L组得到。这样反映的就是估值带来的收益。

独立双重排序

资产收益往往受到多个因子的影响。为了排除其他因子的干扰，需要进行多重排序。
考虑两个排序变量$X_1$和$X_2$，将股票按这两个变量排序分别得到$L_1$和$L_2$组，一共得到$L_1\times L_2$个组合。

这样，若要观察$X_1$的表现，可以纵向、横向对比。比如，$X_1$为BM变量，$X_2$为市值变量，则$X_1$高组为低估值组合，低估值组合理应有较高的未来收益率，但是它是否受市值的影响呢？于是可以观察$P_{11}\sim P_{15}$，看低估值在大公司里表现好还是在小公司里表现好。
$X_1$代表的因子收益率计算如下：

$${\lambda }_{X_{1}t}=\frac{1}{L_2}(\sum _{j=1}^{L_2}{P}_{1j}-\sum _{j=1}^{L_2}{P}_{L_{1}j})$$

类似的，$X_2$代表的因子收益率计算如下：

$${\lambda }_{X_{2}t}=\frac{1}{L_1}(\sum _{i=1}^{L_1}{P}_{i1}-\sum _{i=1}^{L_1}{P}_{i{L}_1})$$

条件双重排序

与独立双重排序相比，条件双重排序有先后顺序。先按照某一个变量排序，再在每一个组内排序。
独立双重排序的组有可能为空，但是条件双重排序的组不会。

多因子模型回归法

时间序列回归

令${\lambda }_t$表示t期因子收益率向量，$R_i^e$为资产i在t期的超额收益率，这二者在时序上满足如下线性关系：

$$R_{it}^e={\alpha }_i+{\beta }_i^{\prime }{\lambda }_t+{ϵ}_{it},t=1,2,...,T$$

因子收益率$ { \lambda_t }$\mathrm{已}\mathrm{知}，\mathrm{由}\mathrm{排}\mathrm{序}\mathrm{法}\mathrm{得}\mathrm{到}。\mathrm{此}\mathrm{处}\mathrm{残}\mathrm{差}$\epsilon_{it}$\mathrm{也}\mathrm{被}\mathrm{起}\mathrm{了}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{装}\mathrm{逼}\mathrm{的}\mathrm{名}\mathrm{字}：\mathrm{特}\mathrm{质}\mathrm{收}\mathrm{益}\mathrm{率}。\mathrm{它}\mathrm{的}\mathrm{波}\mathrm{动}\mathrm{率}\mathrm{被}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{特}\mathrm{质}\mathrm{波}\mathrm{动}\mathrm{率}。\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{资}\mathrm{产}i，\mathrm{都}\mathrm{有}\mathrm{收}\mathrm{益}\mathrm{率}\mathrm{序}\mathrm{列}$ { R_{it}^e }$\mathrm{和}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{收}\mathrm{益}\mathrm{率}\mathrm{序}\mathrm{列}$ { \lambda_t }$，\mathrm{于}\mathrm{是}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{资}\mathrm{产}i\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{作}OLS\mathrm{回}\mathrm{归}，\mathrm{得}\mathrm{到}$\hat{\alpha_i}$\mathrm{和}$\hat{\beta_i}$。\mathrm{将}$ { R_{it}^e }$\mathrm{和}$ { \lambda_t }$在时序上取平均，可得：

$$E_T(R_i^e)=\widehat{{\alpha }_i}+{\widehat{{\beta }_i}}^{\prime }\hat{\lambda },i=1,2,...,N$$

截面回归

因子收益率已知只适合于风格因子。若不能确定因子收益率，用截面回归。

1. 第一步：得到因子暴露
   假设t期一组因子的取值为$f_t=[f_{1t},f_{2t},...,f_{Kt}{]}^{\prime }$。首先通过以下回归得到因子暴露的估计：
   $$R_{it}^e=a_i+{\beta }_i^{\prime }{f}_t+{ϵ}_{it},t=1,2,...,T$$

2. 第二步：截面回归
   以第一步得到的因子暴露为解释变量，以各资产收益率在时序上的均值为被解释变量，构建回归：
   $$E_T(R_i^e)={\widehat{{\beta }_i}}^{\prime }\lambda +{\alpha }_i,i=1,2,...,N$$
   得到因子收益率的估计$\hat{\lambda }$。
   实际上很少用。有个BUG：$f_t$是怎么来的？

Fama-MacBeth回归

1. 第一步：得到因子暴露
   与截面回归第一步相同。
2. 第二步： Fama-MacBeth截面回归
   上面的截面回归是：先平均，再回归
   此处的截面回归是：先回归，再平均
   在每个时间点t，以t期的收益率$R_{it}^e$为因变量，以$\widehat{{\beta }_i}$为自变量，建立回归模型：
   $$R_{it}^e={\beta }_i^{\prime }{\lambda }_t+{\alpha }_{it},i=1,2,...,N$$
   得到因子收益率在t期的估计$\widehat{{\lambda }_t}$，再在时序上取均值：
   $$\hat{\lambda }=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T\widehat{{\lambda }_t}$$
   $$\widehat{{\alpha }_i}=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{\hat{\alpha }}_{it}$$

巧妙之处在于，通过这种方式可以得到T个因子收益率样本，从而方便进行统计检验。

工具变量

在截面回归和Fama-MacBeth回归中，因子暴露是通过第一步回归来估计的。近年来发现用公司本身特征变量代替因子暴露的效果就很好。
这看起来很自然而又很方便。也回避了上面想不明白的BUG。

截面回归可以得到纯因子组合权重矩阵

在做资产组合时，假设给定每个股票的权重向量$w$，则该资产组合的收益率计算如下：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}wR& =w_1{R}_1+w_2{R}_2+...+w_N{R}_N\\ & =[w_1,w_2,...,w_N]\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_{11}& {\beta }_{21}& ...& {\beta }_{K1}\\ {\beta }_{12}& {\beta }_{22}& ...& {\beta }_{K2}\\ ...& ...& ...& ...\\ {\beta }_{1N}& {\beta }_{2N}& ...& {\beta }_{KN}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ...\\ {\lambda }_K\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$

若存在一个向量，使得：$\mathrm{\exists }i,\sum w_k{\beta }_{ik}=0;\mathrm{\forall }j\ne i,\sum w_k{\beta }_{jk}=1$，即只有一个因子有为1的暴露，其他因子暴露均为0，则称这样的权重向量为纯因子组合权重向量。
易知，纯因子组合的收益率即为该因子的收益率，因此纯因子组合权重很重要。
而在截面回归$E_T(R_i^e)={\widehat{{\beta }_i}}^{\prime }\lambda +{\alpha }_i$中，因子收益率的估计为：

$$\hat{\lambda }\hat{\lambda }=({\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }{\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }{)}^{-1}\hat{\beta }{\hat{\beta }}^{\prime }{E}_T(R^e{R}^e)$$

令$\mathrm{\Omega }=({\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }{\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }{)}^{-1}\hat{\beta }{\hat{\beta }}^{\prime }$，可以发现：

$$\mathrm{\Omega }\hat{\beta }=({\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }{)}^{-1}\hat{\beta }{\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }\mathrm{\Omega }\hat{\beta }=({\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }{)}^{-1}\hat{\beta }{\hat{\beta }}^{\prime }\hat{\beta }=I$$

所以，$\mathrm{\Omega }$就是纯因子组合权重矩阵，其每一行就是一个纯因子组合权重矩阵。

实证因子检验

数据预处理

1. 股价复权
   前复权：保持当前价格不变，调整历史价格，适合看盘
   后复权：保持历史价格不变，调整当前价格，后复权价格会与当前真实价格产生差距

2. 财务报表调整
   财务报表调整，会产生多个财务数据，按照“在当前时点利用可得的最新信息”这一原则使用数据。
   可参考https://xueqiu.com/9103835084/122956701
   为了清除未来数据，RQData重算了300多个衍生财务指标https://xueqiu.com/7381621247/144995202

3. 因子数值预处理
   因子的预处理对因子的效果有非常明显的影响，一般对因子的预处理包括缺失值填补、异常值处理等。
   缺失值填补，一般填0或者填横截面均值，财务数据一般向前填充。

   • 异常值处理包括异常样本的处理和离群值的处理
     • 异常样本包括新股、ST、PT等。比如新股可以定义为上市未满一年的股票，去掉每一期的新股和PT、ST等股票，有时也会考虑ST摘帽不满一年也踢掉。
     • 离群值为一些非常大或者非常小远超出正常范围的值，异常值产生的原因千奇百怪，这里不做总结，这里对离群值处理直接做winsor，即超出5%和95%分位数的点，拉到这两个分位点。

4. 行业中性化
   因子中性化主要是为了剔除因子在行业和市值上的特异性，让因子在行业和市值上可比。每个行业的因子大小和稳定性是有明显差异的，所以如果直接构建组合，结果会明显集中于部分行业。
   有时除了这两个之外，也会考虑更多因素，做一些风格中性化，或者说正交化。

   • 中性化操作有两种
     • 用因子值对市值和行业虚拟变量做回归，取回归的残差，因为回归残差和自变量之间是相互正交的
       $$Facto{r}_i=\sum _{j=1}^n{\beta }_{j}Industr{y}_{j,i}+{\sigma }_i$$
       其中，$Facto{r}_i$为股票$i$的因子，$Industr{y}_{j,i}$为行业虚拟变量，若股票$i$属于行业$j$，则为1，否则为0。
     • 对行业虚拟变量回归去残差和在行业内减去均值，除以标准差
     • 两者的效果是一样的

因子描述性统计

可以从因子的分布视角分析：

1. 因子按时间分布
   • 年度
   • 月度
   • 日度
2. 因子按行业分布
   • 分析哪些行业的因子暴露度高
   • 与IC行业分布结合起来看
     可以从因子自相关性视角分析，这是因子的时序特征。
     因子的自相关性主要是反映因子整体的稳定性，或者说因子的动量特征，如果因子的正自相关性很高，说明这个因子的持续性会很好，强者恒强，可以合理预期组合的换手会很低，负相关性很高则反之。

信息系数IC与信息比率IR

因子的信息系数IC(Information Coefficient)定义为因子值和股票未来某一期的收益率之间的相关关系，即有：$IC=Corr(r_{t+n},f_t)$，这里是Pearson相关系数。
又为了防止因子值当中的异常值对IC造成影响，引入Spearman相关系数方式计算IC，称为RankIC，这是非参数统计中的秩相关系数，计算方法如下:

$$\rho =\frac{\sum _{i=1}^N(r(x_i)-\bar{r}(x))(r(y_i)-\bar{r}(y))}{\sqrt{\sum _{i=1}^N[r(x_i)-\bar{r}(x){]}^2\sum _{i=1}^N[r(x_i)-\bar{r}(x){]}^2}}$$

经过简化后，可得：

$$\rho =1-\frac{6\sum _{i=1}^N{d}_i^2}{N(N^2-1)}$$

其中，$d_i=r(x_i)-r(y_i)$
因子的信息比率IR(Information Ratio)，是因子IC的均值与标准差之比，代表因子获取稳定Alpha的能力。

IC信号衰减

因子所包含的信息在市场当中有时效性，一般情况下，随着时间的之后，因子的IC值会逐步下降。
IC信号衰减可以通过计算当前因子值与滞后n期的收益率计算，一般用IC半衰期来衡量IC衰减的快慢，即IC降为当前值一半所滞后的期数。

因子收益率检验

用排序法得到因子收益率序列${\lambda }_t$后，则可以计算因子收益率均值和标准差：

$$\hat{\lambda }=\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{\lambda }_t$$

$$\sigma (\lambda )=\sqrt{\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T({\lambda }_t-\hat{\lambda }{)}^2}$$

在因子收益率为0的原假设下，进行t检验。

对于Fama-MacBeth回归法得到的因子收益率序列，也可以用类似的方法检验。