第五章-风险模型：Barra模型

为什么协方差矩阵代表了风险？

对于投资组合$wR$来说，其波动率可用标准差来衡量。为此，需要得到方差，而资产组合的方差用协方差矩阵表达。

风险模型的目的

风险模型的关键在于资产收益协方差矩阵的估计。而多因子模型的一个重要意义，是实现了降维。

假设共有$N$个资产，取时间段为$T$，多因子模型中包含$K$个因子，则有收益率矩阵：

$$RR=[R_1,R_2,...,R_N{]}^{\prime }={\left[\begin{array}{cccc}{R}_{11}& R_{12}& ...& R_{1T}\\ R_{21}& R_{22}& ...& R_{2T}\\ ...& ...& ...& ...\\ R_{N1}& R_{N2}& ...& R_{NT}\end{array}\right]}_{(N\times T)}$$

有因子暴露矩阵，注意${\beta }_{ij}$表示资产$j$在因子$i$上的暴露：

$$\beta \beta =[{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_K]={\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_{11}& {\beta }_{21}& ...& {\beta }_{K1}\\ {\beta }_{12}& {\beta }_{22}& ...& {\beta }_{K2}\\ ...& ...& ...& ...\\ {\beta }_{1N}& {\beta }_{2N}& ...& {\beta }_{KN}\end{array}\right]}_{(N\times K)}$$

因子收益率时间序列构成矩阵，注意${\lambda }_{ij}$表示因子$i$在$j$期的取值：

$$\lambda \lambda =[{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_K{]}^{\prime }={\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_{11}& {\lambda }_{12}& ...& {\lambda }_{1T}\\ {\lambda }_{21}& {\lambda }_{22}& ...& {\lambda }_{2T}\\ ...& ...& ...& ...\\ {\lambda }_{K1}& {\lambda }_{K2}& ...& {\lambda }_{KT}\end{array}\right]}_{(K\times T)}$$

类似的，有特质收益率矩阵：

$$ϵϵ=[{ϵ}_1,{ϵ}_2,...,{ϵ}_N{]}^{\prime }={\left[\begin{array}{cccc}{ϵ}_{11}& {ϵ}_{12}& ...& {ϵ}_{1T}\\ {ϵ}_{21}& {ϵ}_{22}& ...& {ϵ}_{2T}\\ ...& ...& ...& ...\\ {ϵ}_{N1}& {ϵ}_{N2}& ...& {ϵ}_{NT}\end{array}\right]}_{(N\times T)}$$

则有：

$$R=\beta \lambda +ϵR=\beta \lambda +ϵ$$

在三条假设：

• 因子收益率经过标准化
• 因子收益率与特质收益率无关，即$E(ϵ\lambda ϵ\lambda )=0$
• 不同期的因子收益率之间没有相关性，即$E({ϵ}_i{ϵ}_j^{\prime })=0$

求协方差矩阵可得：

$$\mathrm{\Sigma }=\beta {\mathrm{\Sigma }}_f{\beta }^{\prime }+{\mathrm{\Sigma }}_{ϵ}$$

资产收益率协方差矩阵本为$N$阶矩阵，当资产数量过多时，这个矩阵维度非常高，不好使用。但是，若能找到一些因子来解释资产收益的来源，就可以用低维$K$阶矩阵${\mathrm{\Sigma }}_f$（$K<N$）来代替高维矩阵$\mathrm{\Sigma }$。SURPRISE!实现降维。

多因子模型有两个视角，两方面的作用：

• 收益：用因子收益解释资产预期收益的截面差异
• 风险：准确地估计协方差矩阵

Barra CNE5多因子模型

Barra CNE5多因子模型在风格因子之外，还加入了1个国家因子（本人理解为市场因子）、$P$个行业因子，再加上$Q$个风格因子，共$K=1+P+Q$个因子。

在t期，该多因子模型为：

$$\left[\begin{array}{c}{R}_{1t}^e\\ R_{2t}^e\\ ...\\ R_{Nt}^e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ...\\ 1\end{array}\right]{\lambda }_{Ct}+\left[\begin{array}{c}{\beta }_{1,t-1}^{I_1}\\ {\beta }_{2,t-1}^{I_1}\\ ...\\ {\beta }_{N,t-1}^{I_1}\end{array}\right]{\lambda }_{I_{1}t}+...+\left[\begin{array}{c}{\beta }_{1,t-1}^{I_P}\\ {\beta }_{2,t-1}^{I_P}\\ ...\\ {\beta }_{N,t-1}^{I_P}\end{array}\right]{\lambda }_{I_{P}t}+\left[\begin{array}{c}{\beta }_{1,t-1}^{S_1}\\ {\beta }_{2,t-1}^{S_1}\\ ...\\ {\beta }_{N,t-1}^{S_1}\end{array}\right]{\lambda }_{S_{1}t}+...+\left[\begin{array}{c}{\beta }_{1,t-1}^{S_Q}\\ {\beta }_{2,t-1}^{S_Q}\\ ...\\ {\beta }_{N,t-1}^{S_Q}\end{array}\right]{\lambda }_{S_{Q}t}+\left[\begin{array}{c}{ϵ}_{1t}\\ {ϵ}_{2t}\\ ...\\ {ϵ}_{Nt}\end{array}\right]$$

该模型有三个特点：

1. 假设股票在t期的收益率和因子在t-1期的暴露是已知的，且因子暴露直接用公司的特征变量值代替。则模型求解的目的是因子收益率。

2. 每个公司在一期内只能属于一个行业，故有：

   $${\beta }_{i,t-1}^{I_1}+{\beta }_{i,t-1}^{I_2}+...+{\beta }_{i,t-1}^{I_P}=1,i=1,2,...,N$$

   但是，这样会造成共线性，导致模型出现多个解（不满秩）。于是要做约束：设市值权重向量为$w$，则需要满足：

   $$\begin{array}{}\text{(1)}& [w_1,w_2,...,w_N]\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_{1,t-1}^{I_1}& {\beta }_{2,t-1}^{I_1}& ...& {\beta }_{N,t-1}^{I_1}\\ {\beta }_{1,t-1}^{I_2}& {\beta }_{2,t-1}^{I_2}& ...& {\beta }_{N,t-1}^{I_2}\\ ...& ...& ...& ...\\ {\beta }_{1,t-1}^{I_P}& {\beta }_{2,t-1}^{I_P}& ...& {\beta }_{N,t-1}^{I_P}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{I_{1}t}\\ {\lambda }_{I_{2}t}\\ ...\\ {\lambda }_{I_P-t}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ...\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

   记$s_{I_p}$为所有属于行业$I_p$的股票按照市值计算出的权重之和：

   $$s_{I_p}=\sum _{i=1}^N{w}_i{\beta }_{i,t-1}^{I_p}$$

   则上面的式子可以简写为:

   $$s_{I_1}{\lambda }_{I_1}+s_{I_2}{\lambda }_{I_2}+...+s_{I_P}{\lambda }_{I_P}=0$$

3. 在因子暴露值的预处理上也有讲究。对于任意风格因子$S_q$，其因子暴露为${\beta }_{i,t-1}^{S_q}$，设市值权重向量为$w$：

   • 去均值：使用因子暴露原始值减去因子暴露的市值加权平均值。

     $${\overline{\beta }}_{t-1}^{S_q}=\sum _{i=1}^N{w}_i{\beta }_{i,t-1}^{S_q}$$

   • 除以标准差：使用去均值后的变量除以标准差。

     $$\sigma ({\beta }_{i,t-1}^{S_q})=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\beta }_{i,t-1}^{S_q}}$$
     $${\tilde{\beta }}_{i,t-1}^{S_q}=\frac{{\beta }_{i,t-1}^{S_q}-{\overline{\beta }}_{t-1}^{S_q}}{\sigma ({\beta }_{i,t-1}^{S_q})}$$

   为什么要这样？这样操作有什么好处？

   考虑市值加权的股票组合，有：

   $$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}w{R}_t& =w_1{R}_{1t}+w_2{R}_{2t}+...+w_N{R}_{Nt}\\ & ={\lambda }_{Ct}+\sum _{p=1}^P{s}_{I_p}{\lambda }_{I_{p}t}+\sum _{q=1}^Q(\sum _{i=1}^N{w}_i{\tilde{\beta }}_{i,t-1}^{S_q}){\lambda }_{S_{q}t}+\sum _{i=1}^N{w}_i{ϵ}_{it}\end{array}\end{array}$$

   观察：

   $$\sum _{i=1}^N{w}_i{\tilde{\beta }}_{i,t-1}^{S_q}=\frac{\sum _{i=1}^N{w}_i{\beta }_{i,t-1}^{S_q}-\sum _{i=1}^N{w}_i{\overline{\beta }}_{t-1}^{S_q}}{\sigma ({\beta }_{i,t-1}^{S_q})}=0$$

   又有：

   $$\sum _{i=1}^N{w}_i{ϵ}_{it}\approx 0$$

   故：

   $$w{R}_t\approx {\lambda }_{Ct}$$

   这说明：市值加权组合约等于国家因子纯因子组合。

模型求解

异方差与加权最小二乘法

模型出现异方差时，有：

$$Var(ϵϵ|X)={\sigma }^2\left[\begin{array}{cccc}{w}_1& & & \\ & w_2& & \\ & & ...& \\ & & & w_n\end{array}\right]={\sigma }^2\mathrm{\Omega }$$

令：

$$W={\mathrm{\Omega }}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{w_1}& & & \\ & \frac{1}{w_2}& & \\ & & ...& \\ & & & \frac{1}{w_n}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{w_1}}& & & \\ & \frac{1}{\sqrt{w_2}}& & \\ & & ...& \\ & & & \frac{1}{\sqrt{w_n}}\end{array}\right]}^2=P^{\prime }P$$

则求解加权最小二乘法：$PY=PX\beta +Pϵ$，得

$$\begin{array}{rl}\hat{\beta }& =(X^{\prime }{P}^{\prime }PX{)}^{-1}{X}^{\prime }{P}^{\prime }PY\\ & =(X^{\prime }WX{)}^{-1}{X}^{\prime }WY\end{array}$$

求解条件设定

采用了如下回归权重矩阵：

$$W=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{s_1}}{\sum _{i=1}^N\sqrt{s_i}}& & & \\ & \frac{\sqrt{s_2}}{\sum _{i=1}^N\sqrt{s_i}}& & \\ & & ...& \\ & & & \frac{\sqrt{s_N}}{\sum _{i=1}^N\sqrt{s_i}}\end{array}\right]$$

约束条件中，${\lambda }_{I_P}$可以写成其他${\lambda }_{I_p}$的线性组合，如下形式：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \left[\begin{array}{c}{\lambda }_{Ct}\\ {\lambda }_{I_1}\\ {\lambda }_{I_2}\\ ⋮\\ {\lambda }_{I_P}\\ {\lambda }_{S_1}\\ {\lambda }_{S_2}\\ ⋮\\ {\lambda }_{S_Q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1& ...& 0& 0\\ 0& 1& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ -\frac{s_{I_1}}{s_{I_P}}& -\frac{s_{I_2}}{s_{I_P}}& ...& -\frac{s_{I_{P-2}}}{s_{I_P}}& -\frac{s_{I_{P-1}}}{s_{I_P}}\\ 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 1& 0\\ 0& 0& ...& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{Ct}\\ {\lambda }_{I_1}\\ {\lambda }_{I_2}\\ ⋮\\ {\lambda }_{I_{P-1}}\\ {\lambda }_{S_1}\\ {\lambda }_{S_2}\\ ⋮\\ {\lambda }_{S_Q}\end{array}\right]\end{array}$$

记等号右边的矩阵为$C$，其是$K\times (K-1)$维矩阵，带约束的加权最小二乘情况下，纯因子投资组合权重矩阵为：

$$\mathrm{\Omega }=C(C^{\prime }{\beta }^{\prime }W\beta C{)}^{-1}{C}^{\prime }{\beta }^{\prime }W$$

验证一下易知：$\mathrm{\Omega }\beta =I$

因子收益率

在得到$\mathrm{\Omega }$之后，易得每个因子t期的收益率：

$${\lambda }_{kt}=\sum _{i=1}^N{\omega }_{ki}{R}_{it}^e,k=1,2,...,K$$

式中${\omega }_{ki}$是纯因子权重矩阵第k行第i个元素。可求得第k个因子的因子收益率。

风格因子体系

严格控制因子暴露

市值敞口

行业中性/行业偏离

个股集中度