上一节讲线性SVM时，文末提到在线性可分的情况下，找到一个支持向量，可求得b
但是当出现下图实例时，一些异常点导致的线性不可分
针对这种情况SVM提出了软间隔（soft margin），相对于硬间隔来说，简单将线性SVM看做硬间隔。
回顾硬间隔时优化目标：
min $\frac{1}{2}\left \| w_{2} \right \|_{2}^{2}$
$s.t y_{i}(w\cdot x_{i}+b)≥1$
在软间隔中，我们给每个样本点的函数距离减去了一个松弛变量（ slack variable）：
$y_{i}(w\cdot x_{i}+b)≥1-\xi $
且$\xi≥0$
Tips：
如何理解软间隔的几何含义？
原本我们希望有所的点到超平面的几何距离≥1，最后简化为函数距离。（这里不懂回顾线性SVM）
那么在超平面一侧的样本到超平面的函数距离最小为1，当减去$\xi$时，表明允许部分样本跨越支持向量，向着另一侧出发。
$\xi$还可以理解为离群点在另一侧时，该点到支持向量的函数距离。这样就引入了线性不可分问题。
文末有详细的讨论过程。
但是这个松弛变量的加入是有代价的，我们在优化目标中加入了惩罚项（这里惩罚项可以看做是正则化）
min $\frac{1}{2}\left \| w_{2} \right \|_{2}^{2}+C\sum \xi _{i}$
$s.t y_{i}(w\cdot x_{i}+b)≥1-\xi$
$\xi≥0$
这里C>0，C越大表示我们对误分类惩罚越大，C可以根据样本点中重要程度调整。
优化目标函数：
$L(w,b,\xi ,\alpha ,\mu )=\frac{1}{2}\left \| w \right \|_{2}^{2}+C\sum \xi _{i}-\sum \alpha _{i}\left [ y_{i}(w\cdot x_{i}+b)-1+\xi _{i} \right ]-\sum\mu _{i} \xi _{i}$
其中$\mu _{i}>0, \alpha _{i}>0$.（此处为什么大于零不懂去看KKT条件）
优化目标变成：
和线性SVM一样，对$w,b,\xi $求偏导
$\frac{\partial L}{\partial w}=0\Rightarrow w = \sum a_{i}y_{i}x_{i}$
$\frac{\partial L}{\partial b}=0\Rightarrow b = \sum a_{i}y_{i}$
$\frac{\partial L}{\partial \xi }=0\Rightarrow C-\alpha _{i}-\mu _{i}\Rightarrow C=\alpha _{i}+\mu _{i}$
带入L中，推导过程如下图（又是不知羞耻的盗图QAQ）：
发现一件神奇的事情，这里最后的化解结果和线性SVM一模一样，当然总得有不一样的地方，就是约束条件
现在的优化目标如下：
$\underset{a}{max}=-\frac{1}{2}\sum \sum a_{i}a_{j}y_{i}y_{j}x_{i}\cdot x_{j}+\sum a_{i}$
$s.t \sum a_{i}y_{i}=0 （1）$
$C=\alpha _{i}+\mu _{i} （2）$
$\mu _{i}>0, \alpha _{i}>0 （3）$
由约束条件2和3可以得到$0\leqslant \alpha _{i}\leqslant C$
最后的优化目标成为：
$\underset{a}{min}=\frac{1}{2}\sum \sum a_{i}a_{j}y_{i}y_{j}\phi(x_{i}) \cdot\phi(x_{j})-\sum a_{i}$
$s.t \sum a_{i}y_{i}=0$
$0\leqslant \alpha _{i}\leqslant C$
与线性SVM相比仅仅多了一个约束条件$0\leqslant \alpha _{i}\leqslant C$，然后根据SMO算法得到$\alpha _{i}$，最后求w，b。
对松弛变量的简单理解：
在$L(w,b,\xi ,\alpha ,\mu )=\frac{1}{2}\left \| w \right \|_{2}^{2}+C\sum \xi _{i}-\sum \alpha _{i}\left [ y_{i}(w\cdot x_{i}+b)-1+\xi _{i} \right ]-\sum\mu _{i} \xi _{i}$中，
根据软间隔最大化时KKT条件的对偶互补条件
（下图与文中Tips中的图不一样的地方是这里用的是离群点的几何距离）
参考：
