数据结构与算法——五个常规算法之二 · 动态规划算法
如果一个机器人 一次可以上 1 级台阶，也可以一次上 2 级台阶。求机器人走一个 n 级台阶总共有多少种走法
先试着用分治法尝试下
分治法核心思想： 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
比如总共有 5 级台阶,求有多少种走法；由于机器人一次可以走两级台阶，也可以走一级台阶，所以我们可以分 成两个情况
- 机器人最后一次走了两级台阶，问题变成了“走上一个 3 级台阶，有多少种走法？”
- 机器人最后一步走了一级台阶，问题变成了“走一个 4 级台阶，有多少种走法？”
我们将求 n 级台阶的共有多少种走法用 f(n) 来表示，则 f(n) = f(n-1) + f(n-2);
由上可得 f(5) = f(4) + f(3);
f(4) = f(3) + f(2);
f(3) = f(2) + f(1);
边界情况分析
走一步台阶时，只有一种走法，所以 f(1)=1
走两步台阶时，有两种走法，直接走 2 个台阶，分两次每次走 1 个台阶，所以 f(2)=2
走两个台阶以上可以分解成上面的情况
这符合我们讲解的分治法的思想： 分而治之
代码实现
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 /*递归实现机器人台阶走法统计 5 参数: 6 n - 台阶个数 7 返回: 上台阶总的走法 8 */ 9 10 int WalkCout(int n) 11 { 12 if(n<0) return 0; 13 if(n==1) return 1; //一级台阶，一种走法 14 else if(n==2) return 2; //二级台阶，两种走法 15 else 16 { //n 级台阶， n-1 个台阶走法 + n-2 个台阶的走法 17 return WalkCout(n-1) + WalkCout(n-2); 18 } 19 } 20 21 int main(void) 22 { 23 for(int i=1; i<=6; i++) 24 { 25 printf("%d 台阶共有 %d 种走法\n", i, WalkCout(i)); 26 } 27 28 system("pause"); 29 return 0; 30 }
但是上面的代码中存在很多重复的计算。
比如: f(5) = f(4) + f(3)
计算分成两个分支：
f(4) = f(3)+f(2) = f(2) + f(1) + f(2);
f(3) = f(2) + f(1) ;
上面红色阴影的部分就是重复计算的一部分！
规避重复计算方法：
其实我们可以从下向上分析推断问题。
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = f(1) + f(2) = 3
f(4) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5
f(5) = f(4) + f(3) = 5 + 3 = 8
。。。依次类推 。。。
实际求解过程
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 int WalkCount2(int n) 5 { 6 int ret = 0; 7 8 //无意义的情况 9 if(n <= 0) 10 return 0; 11 12 if(n == 1) 13 return 1; 14 15 if(n == 2) 16 return 2; 17 18 //数组用于存储走 n 个台阶的走法数 19 int* value = new int[n + 1]; 20 value[0] = 0; 21 value[1] = 1; 22 value[2] = 2; 23 for(int i = 3; i <= n; i++) 24 { 25 value[i] = value[i - 1] + value[i - 2]; 26 } 27 28 ret = value[n]; 29 delete value; 30 return ret; 31 } 32 33 int main(void) 34 { 35 for(int i=1; i<=6; i++) 36 { 37 printf("%d 台阶共有 %d 种走法\n", i, WalkCount2(i)); 38 } 39 40 system("pause"); 41 return 0; 42 }
这就是动态规划法 !
动态规划也是一种分治思想，但与分治算法不同的是，分治算法是把原问题分解为若干子问题， 自顶向下，求解各子问题，合并子问题的解从而得到原问题的解。动态规划也是自顶向下把原问 题分解为若干子问题，不同的是，然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中， 在求解大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解，避免重复计算，从而提高算法效率。
什么时候要用动态规划？
如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题， 并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划。
怎么使用动态规划？
五步曲解决：
1. 判题题意是否为找出一个问题的最优解
2. 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
3. 从下往上分析问题 ，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
4. 讨论底层的边界问题
5. 解决问题（通常使用数组进行迭代求出最优解）
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