积性函数和狄利克雷卷积学习笔记

积性函数和狄利克雷卷积学习笔记

积性函数

定义

若函数 $f(x)$ 满足 $f(ab)=f(a)f(b)$，其中 $a,b$ 互质，我们称这个函数是积性函数。

若 $a,b$ 不互质则是完全积性函数。

常见积性函数

1. 欧拉函数 $\phi$

2. 莫比乌斯函数 $\mu$

3. $k$ 为定值的 $f(x)=gcd(x,k)$

4. $d$ $d(x)=x$ 的因数个数

5. $I$ $I(x)=1$

6. $Id$ $Id(x)=x$

7. $\epsilon$ $\epsilon(x)=\begin{cases}1,x=1\\0,x\neq1\end{cases}$

狄利克雷卷积

定义

也叫狄利克雷乘积。形如下式：

$$h(n)=\sum_{ab=n,a>0,b>0}f(a)g(b)$$

另一种写法为：

$$h(n)=\sum_{d|n,d>0}f(d)g(\frac nd)$$

不难发现两种写法等价。在数论中，也将它简记为 $h=f * g$。

性质

1. 狄利克雷卷积满足交换律和结合律。

2. 记 $\epsilon(x)=\begin{cases}1,x=1\\0,x\neq1\end{cases}$，发现对所有函数均有：$f*\epsilon=f$，故称 $\epsilon$ 为单位数论函数或卷积单位元。

3. 若 $f\ast g=\epsilon$，称函数 $g$ 是函数 $f$ 的逆元。也记 $g=f^{-1}$，根据结合律，容易有任意函数均满足 $f* f^{-1}=\epsilon$。

4. 由于莫比乌斯函数具有性质 $\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1,n=1\\0,n\neq1\end{cases}$，将左式看作 $\mu* I=\epsilon$，不难发现 $I$ 和 $\mu$ 互为逆元。