二项式反演学习笔记

二项式反演

式子

$$g_n=\sum_{i=0}^nC_n^i*f_i\Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}*C_n^i*g_i$$

证明

将左式带入右式：

$$f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}*C_n^i*g_i=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}*C_n^i*(\sum_{j=0}^iC_i^j*f_j)=\sum_{j=0}^n(f_j*\sum_{i=j}^n((-1)^{n-i}*C_n^i*C_i^j))$$

$\because C_n^i*C_i^j=C_n^j*C_{n-j}^{i-j}$

$$\sum_{j=0}^n(f_j*\sum_{i=j}^n((-1)^{n-i}*C_n^i*C_i^j))=\sum_{j=0}^n(f_j*C_n^j\sum_{i=j}^n((-1)^{n-i}*C_{n-j}^{i-j}))$$

令 $k=i-j$，得：

$$\sum_{j=0}^n(f_j*C_n^j\sum_{i=j}^n((-1)^{n-i}*C_{n-j}^{i-j}))=\sum_{j=0}^n(f_j*C_n^j\sum_{k=0}^{n-j}((-1)^{n-j-k}*C_{n-j}^k))$$

$\because \sum_{k=0}^{n-j}((-1)^{n-j-k}*C_{n-j}^k)=(1-1)^{n-j}$

$\therefore \sum_{k=0}^{n-j}((-1)^{n-j-k}*C_{n-j}^k)=[(n-j)=0]$

$$\sum_{j=0}^n(f_j*C_n^j\sum_{k=0}^{n-j}((-1)^{n-j-k}*C_{n-j}^k))=f_n*C_n^n=f_n$$

证毕。

应用

常用形式

• $f_i$ 为恰好，$g_i$ 为至多

• $f_n$ 表示恰好使用 $n$ 个元素形成某种特定要求的方案数。

• $g_n$ 表示至多使用 $n$ 个元素形成某种特定要求的方案数。

$$g_n=\sum_{i=0}^nC_n^i*f_i\Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}*C_n^i*g_i$$

• $f_i$ 为恰好，$g_i$ 为至少

• $f_k$ 表示恰好使用 $n$ 个元素形成某种特定要求的方案数。

• $g_k$ 表示至少使用 $n$ 个元素形成某种特定要求的方案数。

$$g_k=\sum_{i=k}^nC_i^k*f_i\Leftrightarrow f_k=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}*C_i^k*g_i$$

实际求解中可以用各种方法求出相对好求的一侧，再利用二项式反演求解另一侧问题。

多数需要用到二项式反演的问题特征是需要求恰好的方案数，同时至多至少有相对容易的求解方法。

例子

例 1

错排问题：$n$ 把钥匙开对应 $n$ 把锁，求一把锁也不开的钥匙排列个数。

至多模型， $g_n=n!$。

例 2

懒，直接贴图：