2024数学新高考一卷压轴题

2024数学新高考一卷压轴题

题面

懒得打，直接放。

解

(1)

$(1,2),(5,6),(1,6)$。

(2)

考虑，$a_1,a_3,a_4,\dots,a_{12},a_{14}$，可以通过这样的方式分成 $3$ 个等差数列：

$$\begin{matrix} a_1,a_4,a_7,a_{10}; \\a_3,a_6,a_9,a_{12}; \\a_5,a_8,a_{11},a_{14}. \end{matrix}$$

使得每一个序列都为等差序列，然后 $a_{14}$ 后面的数可以相邻 $4$ 个为一个等差数列。

综上，$\forall m\ge 3$ 时，原序列为可分序列。

(3)

设 $f(m)$ 为长度为 $4m+2$ 的等差序列可以使得剩下的序列为一一可分序列的数对个数，简称合法数对个数。

显然对于 $\forall i=4t+1,(t=0,1,2,\dots,m)$，$(i,i+1)$ 都是合法数对，这样的数对个数为 $m+1$。

考虑一个长度为 $4t+2,(t=1,1,2,\dots,m)$ 的序列：

• 当 $t\ge 2$ 时

我们先把序列如下叙述方式分割：

$$\begin{matrix} a_1,a_{t+1},a_{2t+1},a_{3t+1},a_{4t+1}; \\a_2,a_{t+2},a_{2t+2},a_{3t+2},a_{4t+2}; \\a_3,a_{t+3},a_{2t+3},a_{3t+3}; \\\vdots \\a_t,a_{2t},a_{3t},a_{4t}. \end{matrix}$$

易得每一个序列都为等差序列。

又 $\because$ 除第一、二个序列长度为 $5$ 外，其他长度序列均为 $4$。

$\therefore$ 将第一个序列的开头、第二个序列的结尾删除，或将第一个序列的结尾、第二个序列的开头删除，可以使合法数对个数增加 $2$。

• 当 $t=1$ 时

由 $(1)$ 得，合法且数对内数字不相邻数对的个数为 $1$。

对于一个长度为 $4m+2$ 得序列，我们可以删除开头和结尾长度为 $4$ 的倍数的序列，使得剩下的序列长度为 $4t+2$，然后形如于上文方式选择即可。

综上

$$f(m)=m+1+\sum_{t=1}^m t+\sum_{t=2}^m 2(m-t+1)=m+1+m+m(m-1)=m^2+m+1$$

则

$$P_m=\frac{f(m)}{C_{4m+2}^{2}}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+8m+1}=\frac{1}{8}+\frac{\frac{7}{8} }{8m^2+8m+1}$$

由 $m\ge 1$ 易得 $8m^2+8m+1>0$，

故 $P_m> \frac{1}{8}$。