2024数学新高考一卷压轴题
2024数学新高考一卷压轴题
题面
懒得打，直接放。
解
(1)
\((1,2),(5,6),(1,6)\)。
(2)
考虑，\(a_1,a_3,a_4,\dots,a_{12},a_{14}\)，可以通过这样的方式分成 \(3\) 个等差数列：
\[\begin{matrix}
a_1,a_4,a_7,a_{10};
\\a_3,a_6,a_9,a_{12};
\\a_5,a_8,a_{11},a_{14}.
\end{matrix}
\]
使得每一个序列都为等差序列，然后 \(a_{14}\) 后面的数可以相邻 \(4\) 个为一个等差数列。
综上，\(\forall m\ge 3\) 时，原序列为可分序列。
(3)
设 \(f(m)\) 为长度为 \(4m+2\) 的等差序列可以使得剩下的序列为一一可分序列的数对个数，简称合法数对个数。
显然对于 \(\forall i=4t+1,(t=0,1,2,\dots,m)\)，\((i,i+1)\) 都是合法数对，这样的数对个数为 \(m+1\)。
考虑一个长度为 \(4t+2,(t=1,1,2,\dots,m)\) 的序列：
- 当 \(t\ge 2\) 时
我们先把序列如下叙述方式分割：
\[\begin{matrix} a_1,a_{t+1},a_{2t+1},a_{3t+1},a_{4t+1}; \\a_2,a_{t+2},a_{2t+2},a_{3t+2},a_{4t+2}; \\a_3,a_{t+3},a_{2t+3},a_{3t+3}; \\\vdots \\a_t,a_{2t},a_{3t},a_{4t}. \end{matrix} \]易得每一个序列都为等差序列。
又 $\because $ 除第一、二个序列长度为 \(5\) 外，其他长度序列均为 \(4\)。
\(\therefore\) 将第一个序列的开头、第二个序列的结尾删除，或将第一个序列的结尾、第二个序列的开头删除，可以使合法数对个数增加 \(2\)。
- 当 \(t=1\) 时
由 \((1)\) 得，合法且数对内数字不相邻数对的个数为 \(1\)。
对于一个长度为 \(4m+2\) 得序列，我们可以删除开头和结尾长度为 \(4\) 的倍数的序列，使得剩下的序列长度为 \(4t+2\)，然后形如于上文方式选择即可。
综上
\[f(m)=m+1+\sum_{t=1}^m t+\sum_{t=2}^m 2(m-t+1)=m+1+m+m(m-1)=m^2+m+1
\]
则
\[P_m=\frac{f(m)}{C_{4m+2}^{2}}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+8m+1}=\frac{1}{8}+\frac{\frac{7}{8} }{8m^2+8m+1}
\]
由 \(m\ge 1\) 易得 \(8m^2+8m+1>0\)，
故 $P_m> \frac{1}{8} $。
