20230924模拟赛

20230924模拟赛

时间安排

• 8:40 T1暴力完成

• 9:00 由于发现T1暴力可以直接写成log的

• 9:30 把T1写完对拍，开T2

• 9:50 想到T2状压40，开写，同时发现T1对拍挂了

• 10:10 先开T3，只会暴力分

• 10:30 T3仍然只会暴力，先写吧

• 10:45 暴力完成，改T1

• 11:15 T1改完了，对拍

• 11:25 T4一档也不会/kk，期望式子没出来

• 11:35 打算再想想T3

• 11：50 啥也没想出来，对拍结束，检查代码，提交

总结

T1耗费时间太长，思维今天感觉寄的，脑子根本不转，有点困（估计昨晚洗澡睡晚了）。

题解

T1

最短路，没啥说的

T2

一道很妙的题，对区间端点做前缀和，把左端点看作限制，右端点看作状态，用组合推式子。

T3

性质题数据结构维护

[1,x] 的二进制下 \(1\) 的个数为奇数的个数为 x/2+(x&1||popcount(x)&1)

证明：

蒟蒻数学归纳法没证出来，考虑用性质证

对于一个偶数 \(k\) 二进制下 \(1\) 的个数若为奇数，则 \(k+1\) 二进制下 \(1\) 的个数必定为偶数且为 \(k\) 二进制下 \(1\) 的个数 \(+1\)（\(k+1=k|1\)），若 \(k\) 二进制下 \(1\) 的个数若为偶数，则 \(k+1\) 二进制下 \(1\) 的个数必定为奇数。

所以把偶数 \(k\) 和奇数 \(k+1\) 绑定，则两个数里必定有且只有一个二进制下 \(1\) 的个数若为奇数。

所以当 \(x\) 为奇数，一共有 \(\frac{x+1}{2}\) 对，即 \(\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor +1\)，为 x/2+1。

当 \(x\) 为偶数，一共有 \(\frac{x}{2}\) 对，且多一个偶数，只需要再判断一下这个偶数二进制下 \(1\) 的个数即可，即 \(\frac{x}{2} +\neg [2|popcount(x)]\)，为 x/2+(popcount(x)&1)。

所以总式子为 x/2+(x&1||popcount(x)&1) 。

补一个yzx的数学归纳法：

T4

组合推期望式子，点分治求解。