20230802模拟赛
20230802模拟赛
T1数学题
题意
令 \(A,B,C\) 为三个质数（\(A\leq B\leq C\)），\(N=A\times B\times C\)。
给出 \(N(1\leq N\leq 10^{14})\)，求 \(B\)。
题解
由 \(A\leq B\leq C\) 可证复杂度直接枚举 \(1e7\) 个质数，求 \(B\)。
T2子序列
题意
给定一个长度为 \(n(\leq 35)\) 的序列: \(a_1,a_2,a_n\) 。
要求你从中选出一个子序列，使得这个子序列的和对 \(m\) 取模后最大。
题解
折半搜索板子题。
T3模
题意
给定一个数组和一个 \(m\)。
支持单点加，单点减，区间取模求和。
题解
分块板子。
T4组队
题意
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，给定 \(k\)，可以修改 \(k\) 个数，求最少把 \(A\) 划分成多少个子段，使得每个字段任意两个数的乘积不为平方数。
题解
先把 \(a=\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}\) 变成 \(a=\prod_{i=1}^m p_i\)，即删去平方因数。这样判断就可以直接化成判断两个数是否相等。
看到 \(k\leq 20\) 考虑 \(O(nk^2)\) 或者 \(O(nk)\) 的 DP。
显然转移是通过划分整段进行的，设状态 \(f_{i,j}\) 表示的就是划分到 \(i\)，当前改变过 \(j\) 个数能够划分出的最小段数。
考虑怎么转移。一个很明显的思路就是枚举上次划分到 \(k\)，则从 \(f_{k,p}\) 转移到 \(f_{i,j}\)，且如果假定把 \([k+1,i]\) 作为一个整段，在这段中需要改变的数为 \(num\)，则有 \(p+num=j\)。
所以可以考虑枚举上个划分点到 \(i\) 消耗了多少次修改，设 \(l_{i,x}\) 表示最小的 \(pos\) 使得 \([pos,i]\) 作为一个整段时消耗了 \(x\) 次修改，所以枚举不同的修改次数时，对于一个修改次数只有一种转移（因为最远所以最优），这样大大简化了 DP 过程。
\(l\) 数组可以用一个一个数组和一个标记数组 \(dp\) 时求出来。
T5玩树
题意
给你一棵树，点数为 \(n\)，第 \(i\) 个点的权值为 \(a_i\)。
定义一条路径 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 的权值是 \(\frac{\prod_{i=1}^{m}b_i}{m}\)。
求树上所有路径的最小值。
多测，\(1\leq n\leq 50000,\sum n\leq 500000,1\leq a_i \leq 10^9\)。
题解
引理 \(1\) ：一条长度为 \(n\) 的路径随机摧毁一个点，余下的两段(或一段)中，较长者长度不小于 $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor $。
引理 \(2\) :答案的路径中，最多有一个 \(2\)，除此之外全为 \(1\)。
证明：若路径中存在 \(b>2\) ，将其删去后，分子除以 \(b\) ，分母最多除以 \(2\)，删去后肯定更优秀。
若路径中有 \(2\)，当且仅当 \(n\) 为奇数且 \(2\) 在路径中点。
若有两个 \(2\) 当且仅当 \(2\) 为中间两个，但是将该路径分开答案不变。若不分开，两端再接上一个 \(1\) 后会发现，分开肯定更优。
这样就直接考虑换根 \(dp\) 了，较为简单，过。
