2023/8刷题记录

2023/8刷题记录

luogu-P6885

向黑板上写数字，左右写，求所有序列的最长 $LIS$ 并统计 $LIS$ 的个数。

向左边放和向右边放相当于把一个序列拆成两个子序列，然后把第一个翻转接在第二个前面。

整个序列的 $LIS$ 就相当于第一个序列的 $LDS$ 和第二个子序列的 $LIS$ 接起来，但要保证开头为哦那个一个数。

枚举每一个 $a_i$ 用 $f_i,g_i$ 记录 $LIS,LDS$ 以及用 $cntf_i,cntg_i$ 记录个数，整个$LIS$ 为 $f_i+g_i-1$，答案为 $cntf_i\times cntg_i\times 2^{n-len_{LIS}}$（因为还有一些不是 $LIS$ 的数字可以随便放）。

经验：序列左右放，拆开。

luogu-P7154

把 $n$ 头奶牛 $s_i$ 放进 $n$ 个牛棚 $t_i$ ，能放进去为 $s_i\leq t_i$，求极大匹配（看题）。

计数题。

把牛棚和奶牛从小到大排序，并且保证相同大小的奶牛和牛棚要奶牛在前。

令 $f_{i,j,0/1}$ 表示当前考虑了第 $i$ 个牛或牛棚，其中有 $j$ 头奶牛没有分配牛棚，是否考虑过不被匹配的奶牛。

对于每个 $i$ 分别考虑为牛和牛棚的情况，进行状态转移（转移略，可根据题目得出具体看代码）。

考虑到 $1\leq N \leq 3000$ 可能会 $MLE$ 所以可以滚动数组。

经验：状态优化，把状态和约束同时处理。

luogu-P8863

给定一个长度为 $n$ 的序列 $b$ 和一个长度为 $n$ 的空数组 $n$ 通过每次把两个 $a_i+1,a_j+1(i\ne j)$ 来使 $a=b$，求方案数。

计数。首先求出操作次数，题目可以简化成构造一个 $n\times m$ 的棋盘，放若干棋子，使得每一列都有两个棋子，第 $i$ 行为 $b_i$。

则按行处理，$f_{i,j}$ 为前 $i$ 行，有 $j$ 列有两个棋子。显然可以通过计算得出每列有一个棋子的个数 $k$ 和没有棋子的个数 $l$。

处理第 $i$ 枚举行，枚举一个 $u$ ，有 $u$ 个棋子放在了有一个棋子的列，显然组合数。

$$f_{i+1,j+u}=f_{i,j}\times C_k^u\times C_l^{b_{i+1}-u}$$

经验：转化棋盘，组合数。

luogu-CF1363F

题意见链接

显然可以转化成每次把一个 $s_i$ 往前移动。又因为显然不会重复移动一个再付，所以相当于拿出一些字符，然后再放进去。并且向前移动。

设 $f_{i,j}$ 为考虑了 $s$ 的前缀 $i$ ，$t$ 的前缀 $j$ ，拿出多少个使得它们匹配。

考虑转移

当 $s_i=t_j,f_{i,j} \gets f_{i-1,j-1}$；

把 $s_i$ 放到前面去 $f_{i,j} \gets f_{i-1,j}+1$；

把后面的一个放到前面，要满足条件是前 $i$ 个 $s$ 中 $t_j$ 的数量小于前 $j$ 个 $t$ 中 $t_j$ 的数量。

luogu-CF1188C

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设 $f(x)$ 为美观度为 $x$ 的子序列个数，令 $F(x)$ 为美观度 $\geq x$ 的子序列个数，而答案

$$\begin{matrix} \\&\sum_{x=1}^{max_{a}} x\times f(x) \\=&\sum_{x=1}^{max_{a}} f(x)\sum_{i=1}^{x}1 \\=&\sum_{i=1}^{max_{a}} \sum_{x=i}^{max_{a}} f(x) \\=&\sum_{i=1}^{max_{a}} F(i) \end{matrix}$$

所以把 $a$ 从小到大排序

枚举 $x$。

设 $dp_{i,j}$ 为考虑前 $i$ 个数，选择了 $j$ 个数且美观度 $\geq x$ 的序列个数。

转移时枚举 $k$，满足 $a_i-a_k\geq x$ ，有 $dp_{i,j} \gets dp_{i,j}+dp_{k,j-1}$，可使用前缀和优化。

经验：式子转化，前缀和优化

luogu-P7985

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$T=1$ 时经典题，略。

$T=2$

按照牛的位置从小到大考虑。

设 $f_{i,j,* }$ 为考虑到第 $i$ 头 $H$ 和第 $j$ 头 $G$ 且匹配，但是还要记录上一头失配牛的位置。

注意到匹配和失配位置不是很重要，所以设 $f_{i,j,0/1}$ 为考虑到第 $i$ 头 $H$ 和第 $j$ 头 $G$，最后一头失配的是第 $i$ 头牛 $H$ 还是第 $j$ 头牛 $G$ 。

枚举下一头失配的牛，并将之前的匹配，枚举一个 $l$ 匹配数，转移就可以了，时间有点高，对 $l$ 进行预处理就行了。

经验：考虑实际应有状态。

luogu-CF1768F

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特别好的 $dp$ 题，性质极其有趣。

观察到 $a_i\leq n$。

第一个性质是如果跳跃的话，最小值一定是 $a_i$ 或 $a_j$，否则从 $i$ 跳到最小值，再从最小值跳到 $j$ 一定代价更优。

第二个性质是每次跳跃步数不会超过 $\left \lfloor \frac{n}{a_{i}} \right \rfloor$，证明易证。

根据前面的两条性质可以推得时间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$ ，可以通过。