2023/8刷题记录

2023/8刷题记录

luogu-P6885

向黑板上写数字，左右写，求所有序列的最长 \(LIS\) 并统计 \(LIS\) 的个数。

向左边放和向右边放相当于把一个序列拆成两个子序列，然后把第一个翻转接在第二个前面。

整个序列的 \(LIS\) 就相当于第一个序列的 \(LDS\) 和第二个子序列的 \(LIS\) 接起来，但要保证开头为哦那个一个数。

枚举每一个 \(a_i\) 用 \(f_i,g_i\) 记录 \(LIS,LDS\) 以及用 \(cntf_i,cntg_i\) 记录个数，整个\(LIS\) 为 \(f_i+g_i-1\)，答案为 \(cntf_i\times cntg_i\times 2^{n-len_{LIS}}\)（因为还有一些不是 \(LIS\) 的数字可以随便放）。

经验：序列左右放，拆开。

luogu-P7154

把 \(n\) 头奶牛 \(s_i\) 放进 \(n\) 个牛棚 \(t_i\) ，能放进去为 \(s_i\leq t_i\)，求极大匹配（看题）。

计数题。

把牛棚和奶牛从小到大排序，并且保证相同大小的奶牛和牛棚要奶牛在前。

令 $f_{i,j,0/1} $ 表示当前考虑了第 \(i\) 个牛或牛棚，其中有 \(j\) 头奶牛没有分配牛棚，是否考虑过不被匹配的奶牛。

对于每个 \(i\) 分别考虑为牛和牛棚的情况，进行状态转移（转移略，可根据题目得出具体看代码）。

考虑到 \(1\leq N \leq 3000\) 可能会 \(MLE\) 所以可以滚动数组。

经验：状态优化，把状态和约束同时处理。

luogu-P8863

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(b\) 和一个长度为 \(n\) 的空数组 \(n\) 通过每次把两个 \(a_i+1,a_j+1(i\ne j)\) 来使 \(a=b\)，求方案数。

计数。首先求出操作次数，题目可以简化成构造一个 \(n\times m\) 的棋盘，放若干棋子，使得每一列都有两个棋子，第 \(i\) 行为 \(b_i\)。

则按行处理，\(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 行，有 \(j\) 列有两个棋子。显然可以通过计算得出每列有一个棋子的个数 \(k\) 和没有棋子的个数 \(l\)。

处理第 \(i\) 枚举行，枚举一个 \(u\) ，有 \(u\) 个棋子放在了有一个棋子的列，显然组合数。

\[f_{i+1,j+u}=f_{i,j}\times C_k^u\times C_l^{b_{i+1}-u} \]

经验：转化棋盘，组合数。

luogu-CF1363F

题意见链接

显然可以转化成每次把一个 \(s_i\) 往前移动。又因为显然不会重复移动一个再付，所以相当于拿出一些字符，然后再放进去。并且向前移动。

设 \(f_{i,j}\) 为考虑了 \(s\) 的前缀 \(i\) ，\(t\) 的前缀 \(j\) ，拿出多少个使得它们匹配。

考虑转移

当 \(s_i=t_j,f_{i,j} \gets f_{i-1,j-1}\)；

把 \(s_i\) 放到前面去 \(f_{i,j} \gets f_{i-1,j}+1\)；

把后面的一个放到前面，要满足条件是前 \(i\) 个 \(s\) 中 \(t_j\) 的数量小于前 \(j\) 个 \(t\) 中 \(t_j\) 的数量。

luogu-CF1188C

题意见链接

设 \(f(x)\) 为美观度为 \(x\) 的子序列个数，令 \(F(x)\) 为美观度 \(\geq x\) 的子序列个数，而答案

\[\begin{matrix} \\&\sum_{x=1}^{max_{a}} x\times f(x) \\=&\sum_{x=1}^{max_{a}} f(x)\sum_{i=1}^{x}1 \\=&\sum_{i=1}^{max_{a}} \sum_{x=i}^{max_{a}} f(x) \\=&\sum_{i=1}^{max_{a}} F(i) \end{matrix} \]

所以把 \(a\) 从小到大排序

枚举 \(x\)。

设 \(dp_{i,j}\) 为考虑前 \(i\) 个数，选择了 \(j\) 个数且美观度 \(\geq x\) 的序列个数。

转移时枚举 \(k\)，满足 \(a_i-a_k\geq x\) ，有 \(dp_{i,j} \gets dp_{i,j}+dp_{k,j-1}\)，可使用前缀和优化。

经验：式子转化，前缀和优化

luogu-P7985

题意见链接

\(T=1\) 时经典题，略。

\(T=2\)

按照牛的位置从小到大考虑。

设 \(f_{i,j,* }\) 为考虑到第 \(i\) 头 \(H\) 和第 \(j\) 头 \(G\) 且匹配，但是还要记录上一头失配牛的位置。

注意到匹配和失配位置不是很重要，所以设 \(f_{i,j,0/1}\) 为考虑到第 \(i\) 头 \(H\) 和第 \(j\) 头 \(G\)，最后一头失配的是第 \(i\) 头牛 \(H\) 还是第 \(j\) 头牛 \(G\) 。

枚举下一头失配的牛，并将之前的匹配，枚举一个 \(l\) 匹配数，转移就可以了，时间有点高，对 \(l\) 进行预处理就行了。

经验：考虑实际应有状态。

luogu-CF1768F

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特别好的 \(dp\) 题，性质极其有趣。

观察到 \(a_i\leq n\)。

第一个性质是如果跳跃的话，最小值一定是 \(a_i\) 或 \(a_j\)，否则从 \(i\) 跳到最小值，再从最小值跳到 \(j\) 一定代价更优。

第二个性质是每次跳跃步数不会超过 $\left \lfloor \frac{n}{a_{i}} \right \rfloor $，证明易证。

根据前面的两条性质可以推得时间复杂度为 \(O(n\sqrt{n})\) ，可以通过。