整数分块学习笔记

整数分块学习笔记

——by sunzz3183

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引入

求

$$\sum\limits_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$$

正常求法：

直接枚举每个 $n$，时间复杂度为 $O(n)$。

可是，如果 $1\leq n \leq 10^8$ 呢？

所以，我们要用到分块的思想：整数分块

整数分块

显然

$$\exists 1\leq l\leq r \leq n,\left \lfloor \frac{n}{i}\right \rfloor =\left \lfloor \frac{n}{j}\right \rfloor (l\leq i,j\leq r)$$

我们会浪费很多的时间。

那么，有多少段相等呢？

我们来看一张图

显然，存在一个 $k$ 使得

$$\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor =k$$

并让

$$r=\left \lfloor \frac {n}{k }\right \rfloor$$

让

$$\left \lfloor \frac{n}{i}\right \rfloor =\left \lfloor \frac{n}{j}\right \rfloor (l\leq i,j\leq r)$$

而显然 $k$ 是由 $l$ 得到，$r$ 是由 $k$ 得到。

所以，我们去枚举 $l$，并让 $k,r$ 等于上面的东西。

而下一段区间的 $l$ 为 $r+1$。

每一段的值为

$$\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor (r-l+1)$$

时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。

代码

int division_block(int n){
   int sum=0;
   for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
       r=n/(n/l),sum+=n/l*(r-l+1);
   return sum;
}