组合数学学习笔记

组合数学学习笔记

——by sunzz3183

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组合

定义

从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个元素的所有情况数（无顺序），记为

\[C_{n}^{m} \]

公式

\[C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

代码

1. 直接求

inline int ksm(int a,int b){int t=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)t=t*a%p;return t%p;}
inline int C(int n,int m){
	if(n<m)return 0;
	if(m>n-m)m=n-m;
	int a=1,b=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		a=a*(n-i+1)%p,b=b*i%p;
	return a*ksm(b,p-2)%p;
}

2. 预处理阶乘求

int fac[N],inv[N];
inline int ksm(int a,int b){int t=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)t=t*a%mod;return t%mod;}
void init(int n){
	fac[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(int i=n;i>=1;i--)
		inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
inline int C(int n,int m){
	if(n<m)return 0;
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

拓展

因为

\[C_{n}^m=C_{n}^{n-m} \]

所以

\[C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m} \]

万用表

可以找到大部分组合数的规律

其中第 \(n\) 行 \(m\) 列为 \(C_{n+m}^m\) 或 \(C_{n+m}^n\)

排列

从 \(n\) 个元素中选 \(m\) 个元素的排列的所有情况数（有顺序），记为

\[P_{n}^{m} \]

公式

\[P_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!} \]

Lucas定理

\[C_n^m \mod p=C_{n/p}^{m/p} \times C_{n\bmod p}^{m\bmod p}\mod p \]

代码

inline int Lucas(int n,int m){return m?Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p:1;}

卡特兰(Catalan)数

意义

从 \((0,0)\) 不越过直线 \(y=x\) ，走到 \((n,n)\) 的方案个数。

式子

设 \(h(n)\) 为卡特兰数的第 \(n\) 项。

令 \(h(0)=1,h(1)=1\)，卡特兰数满足递推式

\[h(n)= h(0)\times h(n-1)+h(1)\times h(n-2) + ... + h(n-1)\times h(0) (n≥2) \]

另类递推式：

\[h(n)=h(n-1)\times (4\times n-2)/(n+1) \]

\[h(n+1)=h(n)\times (4\times n + 2) / (n + 2) \]

非递推：

\[h(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!} \]

拓展

在求一些走到 \((n,m)\) 的时候

\[f(n,m)=C_{n+m}^n-C_{n+m}^{m-1}=\frac{C_{n+m}^n\times (n-m+1)}{n+1}=\frac{(n+m)!\times (n-m+1)}{m!(n+1)!} \]

多重集组合数

例题Devu and Flowers

描述

给定 \(n(1\leq n \leq 20)\) 个数，每个数最多选 \(a_i(1\leq a_i \leq 10^{12})\)，一共选 \(m(1\leq m \leq 10^{14})\) 个数，问方案数。

分析

显然，当 \(a_i\geq m\) 时，答案为

\[C_{n+m-1}^{n-1} \]

那么如果不满足这种情况呢？

设第 \(i\) 个数字为 \(b_i\)，此题可以转化为，从可重集

\[S=\left \{ b_1\cdot a_1,b_2\cdot a_2,\cdots ,b_n\cdot a_n \right \} \]

选 \(m\) 个数的方案数。

根据容斥可得：

\[C_{n+m-1}^{n-1}-\sum\limits_{i=1}^n C_{n+m-a_i-2}^{n-1}+\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=i+1}^n C_{n+m-a_i-a_j-3}^{n-1}-\cdots +(-1)^n C_{n+m-\sum\limits_{i=1}^na_i-n-1}^{n-1} \]

实现时通过枚举二进制 \(0\sim 2^n-1\) 来加减。

球盒问题

球不同，盒子不同，能有空可以重复放

\[m^n \]

球不同，盒子不同，不能有空可以重复放

考虑容斥

\[\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i} C_m^i i^n \]

球不同，盒子同，不能有空可以重复放

第二类斯特林数

\[S(n,m)=\frac{\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i} C_m^i i^n}{m!} \]

递推式：

\[S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)\times m \]

球不同，盒子同，能有空可以重复放

枚举几个空

第二类斯特林数前缀和

球同，盒子不同，能/不能有空可以重复放

隔板法

能：

\[C_{n+m-1,m-1} \]

不能：

\[C_{n-1,m-1} \]

球同，盒子同，能为空可以重复放

考虑 \(DP\)。

设 \(f_{n,m}\) 为 \(n\) 个球放进 \(m\) 个盒子的方案数。

则

\[f_{n,m}=f_{n,m-1}+f_{n-m,m} \]

解释：\(f_{n,m-1}\) 为新加一个为空的格子，\(f_{n-m,m}\) 为每个格子都加一个球。

球同，盒子同，不能为空可以重复放

上一个问题的 $ f_{n-m,m} $。

由上一题得出差分式子 $ f_{n,m}-f_{n,m-1} $。

小思考

盒子不同容斥，盒子同不容斥

由前面的全部式子可以看出，相同是不同的前缀和，而前缀和反演是差分，所以不容斥（有一点点吧）。