欧拉函数及欧拉定理&逆元学习笔记

欧拉函数及欧拉定理&逆元学习笔记

——by sunzz3183

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欧拉函数

定义

$$\varphi (n)=\sum\limits_{i=1}^{n} [\gcd(n,i)=1]$$

根据容斥可得

$$\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})$$

所以可得以下代码

inline int euler(int x){
	int res=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(!(x%i)){
			res=res/i*(i-1);
			while(!(x%i))x/=i;
		}
	if(x>1)res=res/x*(x-1);
	return res;
}

筛法

原理

$$\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})$$

所以：

1. 当 $n$ 为质数的时候 $\varphi (n)=n-1$

• 设 $d=\frac{n}{p}$ 其中 $p$为 $n$ 的最小质因子。

2. 当 $p$ 是 $d$ 的某个质因子时，则 $\varphi (n)=\varphi (d)\times p$

3. 当 $p$ 与 $d$ 互质时，$\varphi (n)=\varphi (d)\times \varphi (p)$

所以，欧拉函数为积性函数（当 $x\perp y$ 时, $\varphi (xy)=\varphi (x)\times \varphi (y)$）

代码

int cnt,prime[M],phi[N],mu[N];
bool is_p[N];
void init(int n){
	phi[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!is_p[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			is_p[i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

重要公式：

$(1)$

$$\sum\limits_{d|n} \varphi (d)=n$$

证明：

设 $f(n)=\sum\limits_{d|n} \varphi (d)$

由筛法的原理1,2可知

$$\varphi (p^k)=\varphi (p)\times p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}=p^k-p^{k-1}$$

对于

$$\sum\limits_{d|p^k} \varphi (d)$$

显然，$d=\left \{ p^0,p^1,p^2,...,p^k\right \}$。那么有

$$\begin{aligned} \\&=\sum\limits_{i=0}^k \varphi (p^i) \\&=(\sum\limits_{i=1}^k p^i-p^{i-1})+1 \\&=p^k-p^{k-1}+p^{k-1}-p^{k-2}+...+p-1+1 \\&=p^k \end{aligned}$$

$\therefore f(p^k)=p^k$

$\because f(ab)=\sum\limits_{d|ab} \varphi (d)=(\sum\limits_{d|a} \varphi (d)) \times (\sum\limits_{d|b} \varphi (d))=f(a)\times f(b)$

$\therefore f(n)$为积性函数。

$$\begin{aligned} \\&\therefore f(n) \\&=f(p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times ...\times p_k^{c_k}) \\&=f(p_1^{c_1})\times f(p_2^{c_2})\times f(p_3^{c_3})\times ...\times f(p_k^{c_k}) \\&= p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times ...\times p_k^{c_k} \\&=n \end{aligned}$$

$(2)$

$$\begin{aligned} \\&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} [\gcd(i,j)=1] \\&=\sum\limits_{i=1}^{n}(2\sum\limits_{j=1}^{i}[\gcd (i,j)=1])-1 \\&=2 \sum\limits_{i=1}^{n}\varphi (i)-1 \end{aligned}$$

可以使用前缀和，使得 $O(1)$ 查询。

$(2.5)$

$$\begin{aligned} \\&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \gcd(i,j) \\&= \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{d|gcd(i,j)} \varphi (d) \\&= \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{d|i,d|j} \varphi (d) \\&= \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{d=1}^{min(n,m)} \varphi (d)[d|i][d|j] \\&=\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)} \varphi (d) \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} [d|i][d|j] \\&=\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)} \varphi (d) \left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor \end{aligned}$$

$(3)$

莫比乌斯反演（拓展）

$$\begin{aligned} \\&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)==1] \\&= \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{d|gcd(i,j)} \mu (d) \\&=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{d=1}^{min(i,m)} \mu (d)\left \lfloor \frac{min(i,m)}{d} \right \rfloor \\&=\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)} \mu (d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor \end{aligned}$$

费马小定理&欧拉定理&扩展欧拉定理

同余

定义

如果

$$d|(a-b)$$

则我们称

$$a\equiv b\pmod{d}$$

性质

1.反身性：$a\equiv a \pmod{m}$；

2.对称性：若 $a\equiv b \pmod{m}$，则 $b\equiv a \pmod{m}$；

3.传递性：若 $a\equiv b \pmod{m}$，$b\equiv c \pmod{m}$，则 $a\equiv c \pmod{m}$；

4.同余式相加：若 $a\equiv b \pmod{m}$，$c\equiv d \pmod{m}$，则 $a\pm c\equiv b\pm d \pmod{m}$；

5.同余式相乘：若 $a\equiv b \pmod{m}$，$c\equiv d \pmod{m}$，则$ac\equiv bd \pmod{m}$。

费马小定理

定义

对于一个整数 $a$ 和 质数 $p$，如果满足

$$a\perp p$$

则符合

$$a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$$

欧拉定理

定义

费马小定理的广义。

对于两个整数 $a$ 和 $m$，如果满足

$$a\perp m$$

则符合

$$a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}$$

逆元

定义

若

$$ab\equiv 1\bmod m$$

则

$b$ 为 $a$ 在 $\bmod m$ 意义下的逆元，同时，$a$ 也为 $b$ 在 $\bmod m$ 意义下的逆元。

任意整数 $a$ 在 $\bmod m$ 意义下的逆元记为 $inv(a,m)$。

显然，逆元就是在 $\bmod$ 某个数意义下的倒数，即

$$inv(a,m)=a^{-1} \bmod m$$

求法

1. 费马小定理求法（$p\in Prime,a\perp p$）

$$\begin{aligned} \\&\because a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} \\&\therefore a^{p-2}=\frac {1}{a}\pmod{p} \\&\therefore inv(a,p)=a^{p-2}\pmod{p} \end{aligned}$$

2. 欧拉定理求法（$a\perp m$）

$$\begin{aligned} \\&\because a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod{m} \\&\therefore a^{\varphi(m)-1}=\frac {1}{a}\pmod{m} \\&\therefore inv(a,p)=a^{\varphi(m)-1}\pmod{m} \end{aligned}$$

3. 线性求逆元（$p\in Prime,a\perp p$）

对于所有的 $i<p$，有一种线性求逆元（$i^{-1}$）的方法。

因为 $i<p$，所以可以用 $i$ 表示 $p$，即

$$p=ki+b$$

即

$$ik+b \equiv 0 \pmod{p}$$

等式两边同乘 $i^{-1}$，得

$$k+bi^{-1} \equiv 0 \pmod{p}$$

移项，分离处 $i^{-1}$，得

$$i^{-1} \equiv -kb^{-1} \pmod{p}$$

又

$$\begin{aligned} \\&\because k=\left \lfloor p/i \right \rfloor,b=p\bmod i \\&\therefore i^{-1} \equiv -(p/i)(p\bmod i)^{-1} \pmod{p} \\&\therefore i^{-1} \equiv (p-p/i)(p\bmod i)^{-1} \pmod{p} \end{aligned}$$

因为 $(p\bmod i)^{-1}$ 已经处理好了

所以可以线性处理

代码

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;

4. 线性求阶乘逆元

可以在组合数问题上发挥作用

显然

$$\frac{1}{(n-1)!}=n\cdot \frac{1}{n!}$$

所以

fac[0]=inv[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
	fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
for(int i=n;i>=1;i--)
	inv[i-1]=inv[i]*i%mod;

扩展欧拉定理

$$a^b\equiv \begin{cases} a^{b\mod{\varphi(m)}}&a\perp m \\a^b&\neg a\perp m,b<\varphi (m) \\a^{b\mod{\varphi (m)} +\varphi (m)}&\neg a\perp m,b\geq\varphi(m) \end{cases} \mod{m}$$

互质可以不要

$$a^b \equiv \begin{cases} a^b&b<\varphi (m)\\a^{b\mod{\varphi (m)} +\varphi (m)}&b\geq\varphi (m)\end{cases}\mod{m}$$