贝叶斯分类器介绍

原理

假设每组数据$(\vec{x_{(k)}},y_k),k=1,2,\cdots,n$是从分布$D$中独立抽取的（分布$D$未知）

对任一分类器$f$，它的预测误差可表示为$$P(f(\vec{x})\neq{y})=E[I(f(\vec{x})\neq{y})]=E[E[I(f(\vec{x})\neq{y})\lvert{\vec{x}}]]\text{, where }(\vec{x},y)\sim{D}$$

对任一固定的值$\vec{x_*}$，$E[I(f(\vec{x})\neq{y})\lvert{\vec{x}=\vec{x_*}}]=\sum_{i=1}^KP(y=i\lvert{\vec{x}=\vec{x_*}})I(f(\vec{x_*})\neq{i})$，其中$K$为分类个数

使得$E[I(f(\vec{x})\neq{y})\lvert{\vec{x}=\vec{x_*}}]$最小的分类器为$\hat{f}(\vec{x_*})=argmax_{i\in{1,2,\cdots,K}}P(y=i\lvert{\vec{x}=\vec{x_*}})$。对所有$\vec{x}$的取值均满足这一性质的分类器即为贝叶斯分类器，它在所有分类器中使得预测误差$P(f(\vec{x})\neq{y})$最小

由贝叶斯法则可以推导出贝叶斯分类器$\hat{f}(\vec{x_*})=argmax_{i\in{1,2,\cdots,K}}\underbrace{P(y=i)}_\text{class prior}\underbrace{P(\vec{x}=\vec{x_*}\lvert{y=i})}_\text{data likelihood}$

朴素贝叶斯

朴素贝叶斯假设数据的特征是条件相互独立的，即$P(\vec{x}=\vec{x_*}\lvert{y=i})=\prod_{j=1}^dP(x_j=x_{*j}\lvert{y=i})$，其中$d$为特征个数

以垃圾邮件的分类问题为例，每个特征代表对应的单词在邮件中的出现次数，$y=0$表示正常邮件，$y=1$表示垃圾邮件

假设$P(\vec{x}=\vec{x_*}\lvert{y=i})=\prod_{j=1}^dP(x_j=x_{*j}\lvert{y=i})=\prod_{j=1}^dPoisson(x_{*j}\lvert{\lambda_j^{(i)}})$，并定义$\pi^{(i)}=P(y=i)$，则问题变为对参数$\pi^{(i)}$和$\lambda_j^{(i)}, i\in\{0,1\},j\in\{1,2,\cdots,d\}$的求解

使用最大似然估计对参数进行求解，即$$\begin{align*}
argmax_{\pi^{(i)},\lambda_j^{(i)}}\sum_{k=1}^nlnP(\vec{x_{(k)}},y_k) &=argmax_{\pi^{(i)},\lambda_j^{(i)}}\sum_{k=1}^n[ln\pi^{(y_k)}+\sum_{j=1}^d(x_{kj}ln\lambda_j^{(y_k)}-\lambda_j^{(y_k)})] \\ &=argmax_{\pi^{(i)},\lambda_j^{(i)}}\sum_{i=0}^1\sum_{k\lvert{y_k=i}}[ln\pi^{(i)}+\sum_{j=1}^d(x_{kj}ln\lambda_j^{(i)}-\lambda_j^{(i)})]\end{align*}
$$

令$\pi^{(1)}=1-\pi^{(0)}$，并令上式的一阶导数为0，可以得到参数的估计值为$$\hat{\pi}^{(i)}=\frac{\sum_{k=1}^nI(y_k=i)}{n}\text{, }\hat{\lambda}_j^{(i)}=\frac{\sum_{k\lvert{y_k=i}}x_{kj}}{\sum_{k=1}^nI(y_k=i)}$$

综上所述求得的朴素贝叶斯分类器为$\hat{f}(\vec{x_*})=argmax_{i\in{0,1}}[\hat{\pi}^{(i)}\prod_{j=1}^dPoisson(x_{*j}\lvert{\hat{\lambda}_j^{(i)}})]$

LDA和QDA

线性判别分析LDA和二次判别分析QDA都假设每个类内的特征符合多维高斯分布，即$$P(\vec{x}\lvert{y=i})=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\lvert{C_i}\rvert^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu}_i)^TC_i^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu}_i)}$$

LDA与QDA的区别是LDA假设每个类内的协方差矩阵相等，即$C_1=C_2=\cdots=C_K=C$，LDA还可以用于高维数据的降维，具体介绍可参考文章PCA与LDA介绍

具体的推导和计算过程与朴素贝叶斯并没有本质区别，这里就不再详述了，感兴趣的可以参考The Elements of Statistical Learning(2nd Edition) P106-P111