理解点线拓扑关系的计算原理
前序
由于业务需要,我学习了判断点与点、点与线、线与线的关系的算法、理论,这里汇总下,主要内容有:
- 点与点的关系
- 点与线的关系
- 线与线的关系
点与点
点与点关系相对最简单,使用勾股定理即可:
这是怎样计算两个已知坐标点之间的距离:
把两点名为 A 和 B
我们用从 A 画的垂直线和从 B 画的水平线,形成一个直角三角形。
勾股定理告诉我们:
a2 + b2 = c2
标出 A 和 B的坐标。
xA 代表 A 的 x坐标
yA 代表 A 的 y坐标
水平距离 a 是 (xA − xB)
垂直距离 b 是 (yA − yB)
我们现在可以解 c (两点之间的距离):
开始: | c2 = a2 + b2 | |
代进 a 和 b 的式: | c2 = (xA − xB)2 + (yA − yB)2 | |
结果: | ![]() |
点与线的关系
这里分为:
点到线的最短距离,也叫点线距离或垂线长度, 这个不是今天的重点,细节移步到此。
点在线的方位:在左侧还是右侧?
这里不得不先讲个东西:点乘, 也被称为“点积”、“标量积“、”内积“
对于向量a和向量b:
a和b的点积公式为:
其中一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
推导过程如下,首先看一下向量组成:
定义向量:
根据三角形余弦定理有:
根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:
即:
向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间
a·b=0 正交,相互垂直
a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间
这样就能判断点在直线哪边。
线与线的关系
常用问题:
线与线是否相交?
判断两条线段是否相交有两步:
①快速排斥计算
②跨立计算
快速排斥
给出线条AB、CD,如果以AB、CD为对角线的矩形不相交,那么AB、CD也必不可能相交;如果矩形相交,那么需要再通过跨立计算进行判断。对于矩形不相交,有下面两种情况:
对于上面两种情况,可以分成四类来讨论:
①AB两坐标中最大的x值 小于 CD两坐标中最小x值
②CD两坐标中最大的x值 小于 AB两坐标中最小x值
③AB两坐标中最大的y值 小于 CD两坐标中最小y值
④CD两坐标中最大的y值 小于 AB两坐标中最小y值
只要满足了以上四种的其中一种,就可以认为AB与CD不相交。
跨立计算:
首先,这里需要用到向量叉乘的算法:其中AB与CD是三维空间上的向量,与xOy平面平行。
其次,如下图。AB与CD相交必然有A、B在线段CD两边,C、D在线段AB两边。
根据上面的公式和右手螺旋法则:
左边是“左手法则”, 右边是“右手法则”, 用手表示为下图:
如果相交,AB X AC的z坐标值z1与AB X AD的z坐标值z2必然异号;同样的,DC X DA的z坐标值z3与DC X DB的z坐标值z4也必然异号。
两个向量a和b的叉积写作a × b(有时也被写成a ∧ b,避免和字母x混淆)。叉积可以被定义为:
在这里θ表示a和b之间的角度(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与a和b均垂直的单位矢量。
特别的,如果B在CD上时,求得的z坐标值是0。所以只要同时满足z1 X z2 ≤ 0,z3 X z4 ≤ 0,就能保证必然相交。
参考代码(Go)
type Point struct {
X float64
Y float64
}
type Segment struct {
A Point
B Point
}
// IsSegmentsIntersect 2个线段是否相交
func IsSegmentsIntersect(line1 Segment, line2 Segment, containsEnds bool) bool {
//判断矩形相交
if math.Min(line1.A.X, line1.B.X) > math.Max(line2.A.X, line2.B.X) ||
math.Max(line1.A.X, line1.B.X) < math.Min(line2.A.X, line2.B.X) ||
math.Min(line1.A.Y, line1.B.Y) > math.Max(line2.A.Y, line2.B.Y) ||
math.Max(line1.A.Y, line1.B.Y) < math.Min(line2.A.Y, line2.B.Y) {
return false
}
//判断点的位置:如果任意线段的2个端点在另一条线的两侧,则两线相交
a1 := IsPointOnLine(line1.A, line2)
b1 := IsPointOnLine(line1.B, line2)
a2 := IsPointOnLine(line2.A, line1)
b2 := IsPointOnLine(line2.B, line1)
// a*b < 0表示2个端点在另一条线的两端
x1 := a1 * b1
x2 := a2 * b2
if containsEnds && (x1 == 0 || x2 == 0) {
return true
}
isCross := a1*b1 < 0 && a2*b2 < 0
return isCross
}
// IsPointOnLine 判断点是否在线段上, 返回值 > 0 在右侧, = 0 在线上, < 0 在左侧
func IsPointOnLine(p Point, s Segment) float64 {
return (s.B.Y-p.Y)*(s.A.X-p.X) - (s.A.Y-p.Y)*(s.B.X-p.X)
}
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