Python圈中的符号计算库-Sympy（转载）
《本文来自公众号“大邓带你玩python”，转载》
import math
math.sqrt(8)
2.8284271247461903
我们看看Python中结果
math.sqrt(8).math.sqrt(8)
8.000000000000002
本以为会得到8.0,但没想到得到8.000000000000002。
一、为什么会这样？
如果我们平常计算的任务常常有类似于上面的例子这样的表达式，那么直接用python计算其结果只是真实值的逼近。如果这样的计算很大很多，误差会逐渐积累，这是我们不能忍受的，所以这时候就需要Python能处理这种数学符号计算。
二、什么是数学符号计算？
数学符号计算能处理表征数字的符号计算。这意味着数学对象被精确地表示，而不是近似地表示，而具有未被计算的变量的数学表达式被留在符号形式中。
sympy库简介
Sympy是Python的一个数学符号计算库。它目的在于成为一个富有特色的计算机代数系统。它保证自身的代码尽可能的简单，且易于理解，容易扩展。Sympy完全由Python写成，不需要额外的库。
sympy的表达式与我们平常的手写的数学表达式略微有所区别，下面是sympy的方程表示符号
- 加号 +
- 减号 -
- 除号 /
- 乘号 *
- 等号 Eq()
- 指数 **
- 对数 log()
- e的指数次幂 exp()
上面的例子我们用Python实现一下。
import sympy
sympy.sqrt(8)
2*sqrt(2)
用sympy计算
sympy.sqrt(8)*sympy.sqrt(8)
8
三、简单学一下sympy中的几个实例
- 定义数学符号（类似于数学中的变量）
- 展开与折叠
- 简化表达式
- 解方程
- 赋值计算
- log计算
- 导数
- 积分
- 求极限
3.1 定义数学符号
让我们定义一个符号表达式代表数学表达式 x+2yx+2y。首先我们要注意到python中的变量必须赋值才能使用，所以无法表达该数学表达式。所以这里一定要引入特殊的符号，这里有两种方法
- 方法一
from sympy import symbols
x,y = symbols('x y')
expr = x + 2*y
expr
x + 2*y
- 方法二
from sympy.abc import x,y
expr2 = x + 2*y
expr2
x + 2*y
**当数学表达式中的变量不是x，y这种单一字符，而是result这种多个字符长度的变量时，只能用方法一。
3.2 展开与折叠
from sympy import expand,factor
from sympy.abc import x,y
expr = x**2+x*y+3*x
expr
x**2 + x*y + 3*x
- 折叠
factor(expr)
x**2 + x*y + 3*x
- 展开
expr2 = x*(x+y+3)
expand(expr2)
x**2 + x*y + 3*x
3.3 简化表达式
有时候我们需要简化表达式
- 普通的化简
from sympy import simplify
from sympy.abc import x
simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
x - 1
- 三角化简trigsimp
from sympy import trigsimp,sin,cos
from sympy.abc import x,y
y = sin(x)/cos(x)
trigsimp(y)
tan(x)
- 指数化简
from sympy import powsimp
from sympy.abc import x,a,b
y = x**a * x**b
y
x**a*x**b
#指数化简
powsimp(y)
x**(a + b)
3.4 解方程
注意在python中=是赋值的意思，==虽然表示等于，但是会有很大的问题。在sympy中，我们使用Eq(x,y)表示x=y
from sympy.abc import x,y
from sympy import solve,linsolve,Eq
#对一个方程求解，使用solve
solve(Eq(2*x-1,3), x)
[2]
使用linsolve([方程1，方程2，...],(变量1，变量2，...))
#对多个方程求解，使用linsolve。方程的解为x=-1，y=3
linsolve([x+2*y-5,2*x+y-1], (x,y))
{(-1, 3)}
3.5 赋值计算
from sympy.abc import x,y
from sympy import sin,cos
y = sin(x)+cos(x)
y
sin(x) + cos(x)
y.subs(x, x**2)
sin(x**2) + cos(x**2)
这里的赋值，不仅可以实现变量的替换，还可以赋与数字，进行计算。
y.subs(x, 0)
1
3.6 log运算
from sympy import log,expand_log
from sympy.abc import x,y,e
#expand_log为展开log，但需要将force=True，展开才能发生
expand_log(log(x**3), force=True)
3*log(x)
#expand_log为展开log，但需要将force=True，展开才能发生
expand_log(log(x**3))
log(x**3)
expand_log(log(e**x), force=True)
x*log(e)
3.7 导数
from sympy import diff,sin,cos
from sympy.abc import x,y,z,f
#对sin(x)求导
diff(sin(x))
cos(x)
diff(cos(x))
-sin(x)
偏导
#求偏导
f = 3*x**2*y*z
diff(f, x,y)
6*x*z
3.8 积分
from sympy.abc import pi,x
from sympy import integrate,sin
integrate(sin(x), (x,0,pi))
-cos(pi) + 1
3.9 极限
from sympy.abc import x
from sympy import limit
limit(1/x, x, 0, '+')
oo
3.10 展开式
高数中有泰勒展开式，拉格朗日展开式。
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...+x^n/n!+o(x^n)
比如当n=3时，
e^x=1+x+x^2/2+o(x^3)
这里实现的方法是：sympy表达式.series(变量, 0, n)
from sympy import exp,symbols
x = symbols('x')
expr = exp(x)
expr.series(x, 0, 3)
1 + x + x**2/2 + O(x**3)
