网络流的一些模型
上下界网络流
无源汇有上下界可行流
没有源点和汇点，每条边都有一个流量的上限和下限 \([l,r]\)，问是否存在一组可行流让网络平衡。
为了转化成我们熟悉的问题，可以把每条边都减去他们的下限 \(l\)，那么流量限制就成了 \([0,r-l]\)，变成一个差网络。再新建一个下界网络，每条边的容量都为他们的下界 \(l\)，我们希望这两个网络相加后得到的新网络是一个可行流，那么下界网络一定是满流的（必须顶到原图的下界）。但是这样做了之后可能流量不守恒，因此我们需要对差网络进行一定的调整来使其平衡。（满流情况下）考虑下界网络的一个点 \(u\)，如果他的流出量比流入量多 \(x\)，那么就在差网络中新建一个汇点 \(t\)，连一条 \(u\to t\)，容量为 \(x\) 的边。这样在差网络流量平衡时，去掉 \(u \to t\) 额外的这条边后，\(u\) 的流入量刚好就比 \(u\) 的流出量多 \(x\) 了，因此相互抵消。对于流入大于流出的情况，就建立源点 \(s\)，连边 \(s\to u\)，容量为 \(x\) 就行了。在差网络上跑最大流，去掉附加边，加上下界网络就是一个可行流了。但是要注意如果附加边未流满，那么平衡条件就不会满足，也就无解了。在代码实现中，是不需要建立下界网络的，只需要对差网络进行操作即可。判无解可以只枚举 \(s\) 的出边，因为流量守恒，和 \(t\) 的出边一样。
有源汇有上下界可行流
从汇点向源点连一条容量限制为 \([0,\infin)\) 的边，问题转化为无源汇上下界可行流。此时从源点到汇点的可行流流量，即为从汇点到源点的那条附加边的流量（注意下界网络中对应边流量为 \(0\)）。另外我们需要新建两个超级源汇点 \(s^{\prime},t^{\prime}\)，因为现在题目中给了两个 \(s,t\) 了。
有源汇有上下界最大流
我们已经得到了一组可行流的，他的流量就是 \(t\to s\) 附加边的流量。那么此时我们只需要在差网络中把附加边删去，再在残量网络上跑最大流，加上可行流就是原网络的最大流了。为什么是对的？因为可行流已经保证了流量守恒，再加上一组流量守恒的流依旧守恒。并且在残量网络上跑最大流榨干他，就能保证答案也最大了。
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最大权闭合子图
定义：若有向图 \(G\) 的子图 \(V\) 满足：\(V\) 中顶点的所有出边均指向 \(V\) 内部的点，则称 \(V\) 是 \(G\) 的一个闭合子图。若 \(G\) 中有点权，则点权最大的闭合子图被称为 \(G\) 的最大权闭合子图。
这个东西怎么求呢？建立网络流模型，对于点权 \(x \ge 0\) 的点 \(u\)，连一条 \(s \to u\)，容量为 \(x\) 的边；\(x <0\) 的 \(u\) 连一条 \(u \to t\)，容量为 \(-x\) 的边。对于原图中的边 \((u,v)\)，在网络中连一条 \(u\to v\)，容量为 \(\infin\) 的边。所有的正点权和 \(-\) 该网络的最小割就是最大权闭合子图的值了。为什么是这样？首先可以把网络划分成两个集合：一个是 \(S\)，一个是 \(T\)，其中 \(s \in S,t \in T,S \cap T = \varnothing\)，这就是割的定义嘛，而 \(S\) 集合就是最大权闭合子图的集合，一开始为所有正数。对于原图中的边 \((u,v)\) 在网络中容量为 \(\infin\)，一定不会被割，被割的只可能是和 \(s,t\) 连的边。假如我们割掉了一条 \(s \to u\) 的边，那么相当于把 \(u\) 划分进了 \(T\) 集合，代表最大权闭合子图不要 \(u\)，因为 \(u\) 是正点权，相当于答案减少了 \(val_u\)。若割了 \(u\to t\)，相当于把 \(u\) 划进 \(S\)，因为 \(val_u<0\)，因此答案要减少 \(-val_u\)，刚好和最小割对应起来，证毕。
例题
最小路径覆盖
定义：给定有向图 \(G=(V,E)\) 。设 \(P\) 是 \(G\) 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果 \(V\) 中每个定点恰好在 \(P\) 的一条路上，则称 \(P\) 是 \(G\) 的一个路径覆盖。\(P\) 中路径可以从 \(V\) 的任何一个定点开始，长度也是任意的，特别地，可以为 \(0\)。\(G\) 的最小路径覆盖是 \(G\) 所含路径条数最少的路径覆盖。
说人话就是在一个有向图中，选出最少的路径，使他们经过了所有点。考虑拆点：把一个点 \(u\) 分成左部点和右部点 \(u_l,u_r\)，然后连边 \(s\to u_l\)，\(u_r\to t\)，容量都为 \(1\)。对于原图的边 \((u,v)\)，连边 \(u_l \to v_r\)。这样答案就是总点数 \(-\) 最大流。为什么？因为一开始一共有 \(n\) 个点每个点覆盖自己，每次流一条边相当于合并两路径，这样路径数就 \(-1\)，因此最大流就对应了最大合并数，答案就是 \(n-\) 最大合并数了。
例题
