卡尔曼滤波
参考:
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter
原文: https://www.cnblogs.com/alantu2018/p/9224001.html
公式:
首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation)来描述:X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值:Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中:
X(k)是k时刻的系统状态;
U(k)是k时刻对系统的控制量;
A和B是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵;
Z(k)是k时刻的测量值;
H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵;
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的covariance 分别是Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。
首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为0。
到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance:
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的covariance。式子1,2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个,也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值,我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain):
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到现在为止,我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance:
P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵,对于单模型单测量,I=1。当系统进入k+1状态时,P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样,算法就可以自回归的运算下去。
卡尔曼滤波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式,可以很容易的实现计算机的程序。
实现:
NB-IoT 终端的上行RSSI的数据的卡尔曼滤波效果:
(1)python实现
(2) rtklib中的实现
遗留问题:
如何确定过程噪声的Q和测量噪声R?
一篇博文中提出了思考:https://blog.csdn.net/u010596768/article/details/79045367
Q和R动态变化过程怎么处理?