幂函数 、 指数 、 对数 、底数

幂函数 、 指数 、 对数 、底数

参考文章

• https://www.shuxuele.com/algebra/exponents-logarithms.html

概述

指数运算与对数运算的意义

• 指数 运算, 用来计算增长结果 。例，初始资金为a翻多少指数倍后，获利多少。
• 对数 运算, 用来揭示增长归因 。即，引起增长的原因 。例，初始资金a，获利资金为y，求: 翻了多少指数倍 n。

一、幂函数

幂函数、指数、底数

1. 幂函数一般形式

y = aⁿ （n为有理数）

其中
a 为底数
n 为指数
y 为真数

真数=底数^指数

• 一般形式 8=2³ , 表示： y = 2 * 2 * 2 = 8
• 负数形式 8=2^-3 ,表示： y= (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1 / (2 * 2 * 2)= 0.125
• 分数形式 8=2^2/3，即为分数指数幂

2. 指数

指数 n 的形式

• 为负数时 -n ，对底数求倒数或对真数求倒数，即

  • y = a^-n = (1/a)ⁿ
  • y = a^-n = 1 / (aⁿ)

• 为分数时 -m/n，需要化为根式，再计算

例：

3. 指数 / 分数指数幂

分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称。

1.2 幂函数关系

1.3 幂函数应用

• 幂函数在高考数学 、高等数学 、工业化应用中有很大份量；
• 幂函数包含了数量丰富的各种函数，衍生出去，衔接了个数不菲的常用函数，譬如：一次函数、二次
  函数、正比例函数、反比例函数、根式函数、立方函数.. ...那么，幂函数的性质、规律、图像以及应用，自然而然就成为数学中一个非常吸引人的话题。

二、对数

• 求指数运算，称为对数运算
• 已知增长的结果 y 底数为 a ，求指数 N
  例，已知获利结果 y ，初始投入资金为 a ，求获利的指数 N

2.1 指数和对数关注的问题侧重不同

https://www.shuxuele.com/algebra/exponents-logarithms.html

2.2 定义

对数符号 log

表达式 N = a^x ， 那么数x 称为，以a为底N的 对数 , 记作 x=log_aN

2.3 对数侧重的问题

用【几个】底数相乘能得到【另一个数】 
	- （例如用几个2乘在一起会得到8）

什么 指数 会得到这个结果？

结果8，是底数2的多少指数倍

答案

指数为 3 ， 会等于该结果，记做：

底数2，获利8 ，需要多少指数倍。

【指数】用 2 和 3 来得到 8 （2乘3次为8）
【对数】用 2 和 8 来得到 3 （2 成为 8，当把3个2乘在一起时）

指数为多少，会等于下面结果 ？

对数与指数相反。

用以上的例子：

指数用 2 和 3 来得到 8 （2乘3次为8）
对数用 2 和 8 来得到 3 （2 成为 8，当把3个2乘在一起时）

所以对数函数的答案是指数：

指数与对数时常用在一起，因为它们的效果是"相反"的（但底"a"要相同）：

指数与对数互为"反函数"