动态规划（爬楼梯，取珠宝，最大子序列和，找零钱）

1，爬楼梯问题

一个人爬楼梯，每次只能爬1个或两个台阶，假设有n个台阶，那么这个人有多少种不同的爬楼梯方法

动态规划的状态转移：第 i 个状态的方案数和第 i-1, i-2时候的状态有关，即：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，dp表示状态矩阵。

def climb_stairs(n):
    dp=[0]*n
    dp[0]=1
    dp[1]=2
    for i in range(2,n):
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

2，取珠宝问题

一条直线上，有n 个房间，每个房间数量不等的财宝，一个盗贼希望从房屋中盗取财宝，由于房屋有警报器，同时从相邻两个房间盗取珠宝就会触发警报，求在不触发警报的情况下，最多可获取多少财宝？

如有6个房间，每个房间珠宝数量为[5,2,6,3,1,7]

状态转移：

前1个房间可获取珠宝的最大数量：5；

前2个房间可获取珠宝的最大数量：5；

前3个房间可获取珠宝的最大数量：11；

前4个房间可获取珠宝的最大数量：11；

前5个房间可获取珠宝的最大数量：12；

可以发现，前i个房间最大可获取的数量和前i-1，i-2个房间可获取的最大珠宝数量，以及第i个房间的珠宝数量有关：第i个房间珠宝有两种方案，获取（总最大数量等于第i个房间的珠宝数量+前i-2个房间的珠宝最大数量）和不获取（总最大数量=前i-1个房间可获取珠宝的最大数量）。

即：dp[i]=max(dp[i-2]+value[i],dp[i-1])，dp表示状态矩阵。

def stealJewellery(value):
    n=len(value)
    dp=[0]*n
    dp[0]=5
    dp[1]=5
    for i in range(2,n):
        dp[i]=max(dp[i-2]+value[i],dp[i-1])
    return dp[n-1]
 
value=[5,2,6,3,1,7]
print(stealJewellery(value)) 

3，最大子序列和问题

给定一个数组，求这个数组的连续子数组中，最大的那一段的和。

如数组 arr= [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

状态转移：

 如果当前数组的值arr[i]加上第i-1个状态的值大于数组arr[i],第i个状态的值就等于arr[i]+dp[i-1],

否则，dp[i]=arr[i]。其中dp[i]记录的是以第i个数组结尾的最大字段和

记录当前最大的子序列和。即 dp[i]=max(dp[i-1]+arr[i],arr[i])，最大子序列和为max(dp)

def subsequenceSum(arr):
    n=len(arr)
    dp=[0]*n
    dp[0] = arr[0]
    for i in range(1,n):
        dp[i]=max(dp[i-1]+arr[i],arr[i])
    return max(dp)

4，找零钱问题

已知不同面值的钞票，求如何用最少数量的钞票组成某个金额，求可以使用的最少钞票数量。如果任意数量的已知面值钞票都无法组成该金额，则返回-1

假设coins=[1,2,5,7,10]，金额：amount=14，dp[i]表示金额 i 的最优解。

金额14的最后一张面额可能由coins里面的任意一张得到，即：

14=coins[0]+(14-coins[0]) 14=1+13  dp[14]=1+dp[13]

14=coins[0]+(14-coins[1]) 14=2+12  dp[14]=1+dp[12]

14=coins[0]+(14-coins[2]) 14=5+9  dp[14]=1+dp[9]

14=coins[0]+(14-coins[3]) 14=7+7  dp[14]=1+dp[7]

14=coins[0]+(14-coins[4]) 14=10+4  dp[14]=1+dp[4]

具体最后一张选了哪个面额，就要看哪个面额情况下总拼凑数量最少。即：dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1)，当计算到金额14时候，小于14的金额的最小数量都已经求出并存储在dp[i]里面，此时只需要直接取出比较即可。最终函数返回dp[14]即为所求的最少数量。

 

 求解代码一共有两个for循环，一个是金额从0-amount的最少数量(dp[i])，另外一个是面额数量组合（coins[j]）。dp[i]的初始值都设置为amount+1，当所有的coins都无法拼凑当前金额 i 的时候，dp[i] = amount+1 此时dp[i] 大于amount，所以函数返回-1。

def coinChange(coins,amount):
    dp=[amount+1]*(amount+1)
    dp[0]=0
    for i in range(1,amount+1):
        for j in range(len(coins)):
            if coins[j]<=i:
                dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1)
    if dp[amount]>amount:
        return -1
    else:
        return dp[amount]
 
coins=[1,2,5,7,10]
print (coinChange(coins,14))