CF1928E 题解

2300？1300！

\(\textbf{Problem Statement}\)

给定 \(n,x,y,s\)，构造长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，满足：

• \(a_1 = x\)。

• \(\forall i \in [2,n],a_i = a_{i-1} + y\) 或者 \(a_i = a_{i-1} \bmod y\)。

• \(\sum \limits_{i=1}^n a_i = s\)。

给出构造或报告无解。\(\sum n,\sum s \le 2 \cdot 10^5\)。

\(\textbf{Hints}\)

\(\textbf{Hint 1}\)

令 \(p = s - n \cdot (x \bmod y)\)，如果 \(p \bmod y \ne 0\)，这个问题可能有解吗？

\(\textbf{Hint 2}\)

令 \(s = \dfrac{p}{y}\)，问题等价于构造序列 \(a\)，使得 \(a_1 = x\)，\(\forall i \in [2,n],a_i = a_{i-1}+1\) 或 \(a_i = 0\)，且 \(\sum \limits_{i=1}^n a_i = s\)。

\(\textbf{Hint 3}\)

解决 \(x < y\) 的情况。\(x \ge y\) 的情况可以简单转化。

\(\textbf{Hint 4}\)

当 \(x < y\) 时，鉴于你可以填 \(0\)，你只需要关心拼出一个整数 \(q\) 最小需要几个数字。

\(\textbf{Hint 5}\)

可以用 DP 解决。

\(\textbf{Solution}\)

先阅读完所有提示。

我们来解决 \(x < y\) 的情况，此时我们关心拼出整数 \(q\) 最少需要几个数字。考虑图论建模，对于数字 \(i\)，向 \(x = i+\sum\limits_{j=1}^k j\) 连边权为 \(k+1\) 的边，表示从 \(i\) 到 \(x\) 需要 \(k+1\) 个新的数字，容易发现边数为 \(\mathcal O(n \sqrt n)\) 级别。跑一边 dij 即可得到拼出每个整数的最少代价，复杂度 \(\mathcal O(n \sqrt n \log n)\)。

你发现这个图是个 DAG，边即为 dp 的转移方程，那么直接 dp 就好，复杂度 \(\mathcal O(n\sqrt n )\)。

然后我们就 \(\mathcal O(1)\) 解决了 \(x < y\) 的情况，对于 \(x \ge y\) 的情况，我们只需要枚举第一部分填几个数字，然后就转化成了 \(x < y\) 的情况。

构造答案只需要记录 dp 方案，这也是容易完成的。回答每组询问的时间复杂度是 \(\mathcal O(n)\)，可以通过。

赛时代码。因为脑抽了所以写了 dij。