拓扑排序

拓扑排序在百度百科中的解释是：对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

转换为显示中比较容易理解的例子就是，在大学有学过课程需要学习，例如要想学习数据结构，首先就需要学习完C语言才可以，那么我们就可以将课程看成图中的点，将先学习c语言再学习数据结构看成是一条C语言指向数据结构的有向边。那么我们只需要找到一个线性的排列顺序，使得这个顺序满足所有的课程的前置要求（就是要想学习这门课程，需要将该课程的所有前置课程学完）。那么我们也比较容易的知道，拓扑排序并不一定是一个唯一的线性顺序。

在学习拓扑排序的算法之前，我们需要先了解几个基本概念

出度：以点u为起点的边的数量是u的出度

入度：以点u为终点的边的数量是u的入度

对于拓扑排序而言有BFS和DFS两种算法

BFS

基于BFS的拓扑排序也可以分为两类：无前驱的顶点优先、无后继的顶点优先

无前驱的顶点优先拓扑排序：

1：预处理，遍历每个边，计算出所有顶点的出度和入度。复杂度O(V+E)，其中包含每个顶点的初始化

2：找到所有入度为0的顶点，放进队列，作为起点（这些点的先后顺序无所谓）。如果找不到入度为0的点，那么这个图不是DAG，不存在拓扑排序

3：弹出队首元素，将队首的所有直接邻居点（队首元素指向的邻居节点）的入度减一，把入度变为0的结点放入队列。

4：重复操作3，直到队列为空。这个时候队列的所有弹出顺序就是一个拓扑排序。

拓扑排序无解的判定条件：如果队列为空时，仍旧有点没有进入过队列，那么这些点的入度都不可能为0，一定存在一个有向环

无后继的顶点优先拓扑排序：

相当于是无前驱的反向执行

1：预处理，计算出所有顶点的出度和入度

2：找到所有出度为0的顶点，放入队列。如果找不到，则不存在拓扑排序

3：弹出队首元素，将队首的所有直接邻居结点（指向对手的邻居节点）的出度减一，把出度为0的结点放入队列

4：重复操作3，直到队列为空。这个时候队列的弹出顺序的逆序就是一个拓扑排序。

总的来说，BFS的复杂度是O(V+E)

 

DFS

只需要在传统的dfs中加入一个对点的处理就是一个拓扑排序算法

对于dfs的拓扑排序，最好是加一个虚拟结点0，再加n条边有向边，为0指向所有n个结点的有向边。这个时候只要从虚拟结点0进行dfs遍历就可以了，这样避免了图不联通的情况下，需要用循环dfs了。

dfs实际是递归，递归包含递推和回归，在回归的时候输出拓扑排序，但是注意这个时候的拓扑排序是逆序，所以可以使用栈来暂时存储，最后用栈输出就可以解决了。

 

要求字典序最小或者最大的拓扑排序。使用优先队列的正向拓扑排序解决

要求1尽可能在最前面，在1的前提下，让2尽可能在前面，在1和2的前提下，让3尽可能在前面，如此类推。使用优先队列并且是逆向拓扑排序

 

写于：2020/8/19 15:57

修改于：2020/8/19 21:17