二次曲线引入及二次曲线的化简

一、二次方程与二次曲线

定义

满足二次方程 $A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+2Dx+2Ey+F=0(A,B,C\mathrm{不}\mathrm{全}\mathrm{为}0)$ 的所有点的集合，称为二次曲线。

与圆锥曲线的关系

圆锥曲线一定是二次曲线，但二次曲线不一定是圆锥曲线。

二、二次曲线的变换

平移变换

根据平移公式

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+h\\ y=y^{\prime }+k\end{array}$$

代入二次曲线方程，有

$$A(x^{\prime }+h{)}^2+2B(x^{\prime }+h)(y^{\prime }+k)+C(y^{\prime }+k{)}^2+2D(x^{\prime }+h)+2E(y^{\prime }+k)+F=0$$

整理，并用 x 代替 x'，可以得到

$$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+2(Ah+Bk+D)x+2(Bh+Ck+E)+(A{h}^2+2Bhk+C{k}^2+2Dh+2Ek+F)=0$$

可以发现，平移不会改变二次曲线的二次项系数。

旋转变换

根据旋转公式

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{\prime }\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$$

代入二次曲线方程，整理化简后可得各项系数与原系数有以下关系

$$\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }=A{\cos }^2\theta +2B\sin \theta \cos \theta +C{\sin }^2\theta \\ B^{\prime }=(C-A)\sin \theta \cos \theta +B({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\\ C^{\prime }=A{\sin }^2\theta -2B\sin \theta \cos \theta +C{\cos }^2\theta \\ D^{\prime }=D\cos \theta +E\sin \theta \\ E^{\prime }=-D\sin \theta +E\cos \theta \\ F^{\prime }=F\end{array}$$

我们可以发现以下结论：

1. 旋转后常数项不变；
2. 旋转后二次项系数只跟原二次项系数和旋转角有关，且 A' + C' = A + C；
3. 旋转后一次项系数只跟原一次项系数和旋转角有关。
   特别地，若 D, E = 0，则 D', E' = 0。即旋转不会增多一次项。

三、二次曲线（方程）的化简

引入

观察圆锥曲线的标准方程

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$

$$y^2=2px$$

我们发现它们不含二元项 xy，也不含二次项和一次项中的某些项，具有非常简洁的方程形式。

概念

如果一个二次方程不含二元项 xy，且总的项数（除 0 外）不超过 3 个，这样的方程称为最简二次方程。经过一系列平移变化和旋转变化得到最简二次方程的过程，称为二次方程的化简。

通过平移变化化简二次方程

根据上文，将坐标原点平移至 (h, k) 后的二次方程形式如下

$$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+2(Ah+Bk+D)x+2(Bh+Ck+E)+(A{h}^2+2Bhk+C{k}^2+2Dh+2Ek+F)=0$$

$$\{\begin{array}{l}{D}^{\prime }=Ah+Bk+D\\ E^{\prime }=Bh+Ck+E\end{array}$$

令 D' = E' = 0，我们得到二元一次方程组

$$\{\begin{array}{l}Ah+Bk+D=0\\ Bh+Ck+E=0\end{array}$$

该方程组有解的充要条件为

$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right|=0$$

设系数组 $\delta =B^2-AC$，则 $\delta =-\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right|$

当 $\delta \ne 0$时，方程组存在唯一解$(h,k)$，满足

$$h=-{\displaystyle \frac{1}{\delta }}\left|\begin{array}{cc}B& D\\ C& E\end{array}\right|,k={\displaystyle \frac{1}{\delta }}\left|\begin{array}{cc}A& D\\ B& E\end{array}\right|$$

此时

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }& =A{h}^2+2Bhk+C{k}^2+2Dh+2Ek+F\\ & =(Ah+Bk+D)h+(Bh+Ck+E)k+(Dh+Ek+F)\\ & =Dh+Ek+F\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{\delta }}(D\cdot \left|\begin{array}{cc}B& D\\ C& E\end{array}\right|-E\cdot \left|\begin{array}{cc}A& D\\ B& E\end{array}\right|+F\cdot \left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right|)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{\delta }}\left|\begin{array}{ccc}A& B& D\\ B& C& E\\ D& E& F\end{array}\right|\end{array}$$

设 $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}A& B& D\\ B& C& E\\ D& E& F\end{array}\right|$ 为方程的另一个系数组，则有

$$F^{\prime }=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{\delta }}$$

分析此时曲线的性质，可知其关于原点对称，则原曲线关于点 $(h,k)$ 中心对称。

一般地，如果二次方程的系数组 $\delta =B^2-AC=0$，那么二次曲线有一个对称中心，我们称之为有心二次曲线。此时，我们可以通过平移变化消去二次方程中的一次项。

通过旋转变化化简二次方程

如果 $B\ne 0$，我们可以通过坐标系旋转变化消去 xy 项

根据上文，逆时针旋转 θ 后二次项的系数如下

$$\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }=A{\cos }^2\theta +2B\sin \theta \cos \theta +C{\sin }^2\theta \\ B^{\prime }=(C-A)\sin \theta \cos \theta +B({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\\ C^{\prime }=A{\sin }^2\theta -2B\sin \theta \cos \theta +C{\cos }^2\theta \end{array}$$

令 B' = 0，可得

$$\begin{array}{rl}{B}^{\prime }& =(C-A)\sin \theta \cos \theta +B({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\\ & =B\cos 2\theta -{\displaystyle \frac{A-C}{2}}\sin 2\theta \\ & =0\end{array}$$

因此

$$\cot 2\theta ={\displaystyle \frac{A-C}{2B}}\Rightarrow \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}arccot{\displaystyle \frac{A-C}{2B}}$$

此时，由

$$\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^{2}2\theta }}}$$

$$\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{\cot 2\theta }{\sqrt{1+{\cot }^{2}2\theta }}}$$

可得

$$A^{\prime }={\displaystyle \frac{A+C}{2}}+{\displaystyle \frac{B}{\sin 2\theta }}$$

$$C^{\prime }={\displaystyle \frac{A+C}{2}}-{\displaystyle \frac{B}{\sin 2\theta }}$$

若原二次方程无一次项，则旋转后的二次方程也无一次项。因为平移变化相较于旋转变化更为简单，因此在 $\delta \ne 0$ 的情况下, 我们优先使用平移变化化简。

小结

1. 含有一次项且 $\delta \ne 0$: 优先平移变化
2. 不含一次项或 $\delta =0$ 且 $B\ne 0$: 优先旋转变化
3. $B=0$ 且 $\delta =0$：具体分析(配方加平移)