坐标系的平移与旋转变化

一、坐标系的平移变化

定义

坐标原点发生变化，而坐标轴的方向不发生改变，这样的变化成为坐标系的平移变化。

分析

记平移后的坐标原点为 $O^{\prime }(h,k)$， 取坐标系上任一点 $P(x,y)$， 利用平面向量，有

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }P}$$

即

$$(x,y)=(h,k)+(x^{\prime },y^{\prime })$$

因此，得到平移后的坐标与原坐标的关系式如下

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+h\\ y=y^{\prime }+k\end{array}\text{ (1) 或 }\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-h\\ y^{\prime }=y-k\end{array}\text{ (2)}$$

我们称 (1) 式和 (2) 式为平移公式。

示例

问题

将坐标原点 $O$ 点平移至 $O^{\prime }(2,-3)$, 求以下各项在新坐标系中的方程。

1. 点 $A(4,6)$;
2. 直线 $x+3y=2$;
3. 曲线 $9x^2+4y^2-36x+24y-36=0$.

解答

根据平移公式，平移前后的坐标有以下关系

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }+2\\ y=y^{\prime }-3\end{array}\text{ (1) 或 }\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-2\\ y^{\prime }=y+3\end{array}\text{ (2)}$$

1. 由(2)式，得

   $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-2=2\\ y^{\prime }=y+3=9\end{array}$$

   故平移后的坐标为 $A(2,9)$

2. 由(1)式，得

   $$(x^{\prime }+2)+3(y^{\prime }-3)=2$$

   整理得，平移后的直线方程为

   $$x+3y=9$$

3. 由(1)式, 得

   $$9(x^{\prime }+2{)}^2+4(y^{\prime }-3{)}^2-36x^{\prime }+24y^{\prime }-36=0$$

   整理得， 平移后的曲线方程为

   $$9x^2+4y^2-36=0$$

   即

   $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$$

   可知，该曲线为对称中心在 O'(2, -3) 的椭圆

二、坐标系的旋转变化

定义

保持原点及坐标轴的夹角不变，将两坐标轴绕原点（逆时针）旋转同一角度的变化，称为坐标系的旋转变化。

分析

将坐标系 $Oxy$ 逆时针旋转 θ 得到新坐标系 $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }$, 则 $x^{\prime }$, $y^{\prime }$ 正半轴上的单位向量为

$$\overrightarrow{e_1}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$

$$\overrightarrow{e_2}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$$

则点 $P(x,y)$ 在新坐标系的坐标即为 $\overrightarrow{OP}$ 在两个单位向量上的投影

$$x^{\prime }=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{e_1}=x\cos \theta +y\sin \theta$$

$$y^{\prime }=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{e_2}=-x\sin \theta +y\cos \theta$$

因此我们可以得到旋转公式

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{\prime }\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\text{ (1) 或 }\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \theta +y\sin \theta \\ y^{\prime }=-x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\text{ (2)}$$

示例

问题

将坐标系 $Oxy$ 旋转 45°, 求以下各项在新坐标系中的方程。

1. 点 $B(6,-1)$;
2. 直线 $x+3y=2$;
3. 曲线 $x^2+y^2-6xy+4=0$.

解答

根据旋转公式，旋转前后的坐标有以下关系

$$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime }\\ y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime }\end{array}\text{ (1) 或 }\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}y\\ y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}y\end{array}\text{ (2)}$$

1. 由(2)式，得

   $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}y={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}\\ y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}y=-{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

   故旋转后的坐标为 $A({\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}})$

2. 由(1)式，得

   $$({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime })+3({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime })=2$$

   整理得，旋转后的直线方程为

   $$2x+y=\sqrt{2}$$

3. 由(1)式, 得

   $$({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime }{)}^2+({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime }{)}^2-6({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime })({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}^{\prime }+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{y}^{\prime })+4=0$$

   整理得， 旋转后的曲线方程为

   $$x^2-2y^2-2=0$$

   即

   $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-y^2=1$$

   可知，该曲线为对称轴为直线 $y=x$ 的双曲线