P1787 [入门赛 #22]非众数 Hard Version 题解
P1787 [入门赛 #22]非众数 Hard Version 题解
这里对 pjh0625 的题解进行了详细解释
1. 读题
题目要求计算给定字符串中非众数子串的数量。
非众数子串 的定义是:子串中出现次数最多的字符的频率不超过子串长度的一半。
非众数串 的定义是:一个字符串 s
中,没有任何字符的出现次数超过字符串长度的一半。
2. 解题思路
直接暴力解法(遍历所有子串并判断)的时间复杂度为 \(O(n^2)\),在 \(n \le 10^5\) 的数据范围内会超时。因此,我们需要一种更高效的算法 —— 树状数组(Binary Indexed Tree, BIT)。
-
树状数组的作用:
- 树状数组可以高效地维护和查询前缀和,时间复杂度为 \(O(\log n)\)。
- 通过树状数组,我们可以快速统计子串中某个字符的频率。
-
离散化处理:
- 为了处理负数索引问题,我们将每个字符的频率和位置信息离散化为正整数。
- 具体来说,对于每个字符
c
,我们使用 \(2 \times \text{sum} - j + n\) 作为树状数组的索引,其中sum
是当前字符的频率,j
是当前索引。
-
动态计算众数子串:
- 对于每个字符(a 到 z),遍历字符串中的每个位置。
- 使用树状数组统计以该字符为“众数”的子串数量。
- 最终,通过总子串数量减去众数子串数量,得到非众数子串的数量。
3. 代码逻辑
-
初始化:
- 输入字符串并计算其长度。
- 初始化树状数组
t
和众数子串数量cnt
。
-
遍历每个字符(a 到 z):
- 对于每个字符
c
,初始化树状数组并计算其频率。 - 遍历字符串中的每个位置
j
,动态更新树状数组。
- 对于每个字符
-
动态更新树状数组:
- 如果当前字符是目标字符,频率
sum
加 1。 - 使用树状数组查询当前子串的贡献,并更新众数子串数量
cnt
。 - 更新树状数组,将当前频率和位置信息离散化后存入树状数组。
- 如果当前字符是目标字符,频率
-
计算非众数子串数量:
- 总子串数量为 \(\frac{n(n + 1)}{2}\)。
- 非众数子串数量 = 总子串数量 - 众数子串数量。
4. 代码分析
- 变量定义:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 3e5 + 5; typedef long long ll; int n, t[maxn]; // n 为字符串长度,t 为树状数组 ll cnt; // 用于记录众数子串的数量 char s[maxn];
- 自定义函数:
inline int lowbit(int x) { return x & -x; } // 更新树状数组 inline void gx(int x) { for (; x <= n * 3; x += lowbit(x)) t[x]++; } // 查询树状数组的前缀和 inline int cx(int x, int res = 0) { for (; x; x -= lowbit(x)) res += t[x]; return res; }
- 输入字符串及获取长度(已进入主函数):
scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1);
用 cin 和 cout 的同学加上这两句:
// 关闭同步不流,为 cin 和 cout 加速 ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
- 遍历每个字符(a - z):
for (int i = 0; i < 26; i++) { memset(t, 0, sizeof t); // 初始化树状数组 int sum = 0; // 当前字符的频率 // 遍历字符串中的每个位置 for (int j = 0; j <= n; j++) { if (s[j] == i + 'a') sum++; // 如果当前字符是目标字符,频率加一 // 计算当前子串的贡献 // 2 * sum - j + n 是离散化后的值,用于避免负数 cnt += cx(2 * sum - j + n); // 更新树状数组 gx(2 * sum - j + n + 1); } }
- 输出及结束:
// 总子串数量 - 众数子串数量 = 非众数子串数量 printf("%lld", 1ll * (n + 1) * n / 2 - cnt); return 0; // 养成好习惯,比赛时可别忘了
5. 代码展示
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 3e5 + 5; typedef long long ll; int n, t[maxn]; // n 为字符串长度,t 为树状数组 ll cnt; // 用于记录众数子串的数量 char s[maxn]; // 计算树状数组的 lowbit inline int lowbit(int x) { return x & -x; } // 更新树状数组 inline void gx(int x) { for (; x <= n * 3; x += lowbit(x)) t[x]++; } // 查询树状数组的前缀和 inline int cx(int x, int res = 0) { for (; x; x -= lowbit(x)) res += t[x]; return res; } int main() { scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1); // 遍历每个字符(a-z) for (int i = 0; i < 26; i++) { memset(t, 0, sizeof t); // 初始化树状数组 int sum = 0; // 当前字符的频率 // 遍历字符串中的每个位置 for (int j = 0; j <= n; j++) { if (s[j] == i + 'a') sum++; // 如果当前字符是目标字符,频率加一 // 计算当前子串的贡献 // 2 * sum - j + n 是离散化后的值,用于避免负数 cnt += cx(2 * sum - j + n); // 更新树状数组 gx(2 * sum - j + n + 1); } } // 总子串数量 - 众数子串数量 = 非众数子串数量 printf("%lld", 1ll * (n + 1) * n / 2 - cnt); return 0; // 养成好习惯 }
看在
的份上,点个赞走吧!!!
管理员大大看在我改了这么多遍的情况下给过了吧
咱也算是熟人了
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