算法导论读书笔记（12）
二叉查找树
如下图所示，一棵二叉查找树是按二叉树结构来组织的。这样的树可以用链表结构来表示，其中每一个结点都是一个对象。结点中除了 key 域和卫星数据外，还包含域 left ， right 和 p ，它们分别指向结点的左儿子，右儿子和父结点。如果某个儿子结点或父结点不存在，则相应域中的值为 NIL 。根结点是树中唯一的父结点为 NIL 的结点。
在二叉查找树（binary search tree）上执行的基本操作的时间与树的高度成正比。对于一棵含 n 个结点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为 Θ ( lg n )。但是，如果树是含 n 个结点的线性链，则这些操作的最坏情况运行时间为 Θ ( n )。
二叉查找树中关键字的存储方式总是满足以下的 二叉查找树 性质：
设 x 为二叉查找树中的一个结点。如果 y 是 x 的左子树中的一个结点，则 y.key <= x.key 。如果 y 是 x 的右子树中的一个结点，则 y.key >= x.key 。
根据二叉查找树的性质，可以用一个递归算法按排列顺序输出树中的所有关键字。这种算法称为 中序遍历算法 ，因为子树根的关键字在输出时介于左子树和右子树的关键字之间（类似地， 前序遍历 中根的关键字在其左右子树的关键字之前输出，而 后序遍历 中根的关键字在其左右子树的关键字之后输出）。
INORDER-TREE-WALK(x) 1 if x != NIL 2 INORDER-TREE-WALK(x.left) 3 print x.key 4 INORDER-TREE-WALK(x.right)
定理
如果 x 是一棵包含 n 个结点的子树的根，则调用 INORDER-TREE-WALK(x) 过程的时间为 Θ ( n )。
查询二叉查找树
对于二叉查找树，最常见的查找操作除了 SEARCH 外，二叉查找树还支持 MINIMUM ， MAXIMUM ， SUCCESSOR 和 PREDECESSOR 等查询。对高度为 h 的树，它们都可以在 O ( h )时间内完成。
查找
下面的过程在树中查找一个给定的关键字。
TREE-SEARCH(x, k) 1 if x == NIL or k == x.key 2 return x 3 if k < x.key 4 return TREE-SEARCH(x.left, k) 5 else 6 return TREE-SEARCH(x.right, k)
该过程从树的根结点开始进行查找，并沿树下降。对碰到的每个结点 x ，就比较 k 和 x.key 。如果这两个关键字相同，则查找结束。如果 k 小于 x.key ，则继续查找 x 的左子树，如果 k 大于 x.key ，则继续在 x 的右子树中查找。也可以用 while 循环来替代递归过程。
ITERATIVE-TREE-SEARCH(x, k) 1 while x != NIL and k != x.key 2 if k < x.key 3 x = x.left 4 else 5 x = x.right 6 return x
最大关键字元素和最小关键字元素
要查找二叉树中具有最小关键字的元素，只要从根结点开始，沿着各结点的 left 指针查找下去，直到遇到 NIL 时为止。
TREE-MINIMUM(x) 1 while x.left != NIL 2 x = x.left 3 return x
在以 x 为根的子树中，最小关键字可以在 x.left 为根的左子树中找到。过程 TREE-MAXIMUM 的伪码是对称的：
TREE-MAXIMUM(x) 1 while x.right != NIL 2 x = x.right 3 return x
对高度为 h 的树，这两个过程的运行时间都是 O ( h )。
前趋和后继
给定一个二叉查找树中的结点，有时要求找出其在中序遍历顺序下它的后继。如果所有的关键字均不相同，则某一结点 x 的后继即具有大于 x.key 中的关键字中最小者的那个结点。
TREE-SUCCESSOR(x) 1 if x.right != NIL 2 return TREE-MINIMUM(x.right) 3 y = x.p 4 while y != NIL and x == y.right 5 x = y 6 y = y.p 7 return y
TREE-SUCCESSOR 代码中包含两种情况。
- 如果结点 x 的右子树非空，则 x 的后继即右子树中的最左结点，可以通过
TREE-MINIMUM(x.right)过程找到。 - 如果结点 x 的右子树为空，且 x 有一个后继 y ，则 y 是 x 的最低祖先结点，且 y 的左儿子也是 x 的祖先。
如下图所示，包含关键字15的结点的后继是包含关键字17的结点。包含关键字13的结点的后继是包含关键字15的结点。
过程 TREE-PREDECESSOR 和 TREE-SUCCESSOR 对称，其运行时间都是 O ( h )。
TREE-PREDECESSOR(x) 1 if x.left != NIL 2 return TREE-MAXIMUM(x.left) 3 y = x.p 4 while y != NIL and x == y.left 5 x = y 6 y = y.p 7 return y
插入和删除
插入和删除操作会引起二叉树结构上的变化，这时，就要修改其数据结构，以保持二叉查找树性质。
插入
为将一个新值 v 插入到二叉查找树 T 中，可以调用 TREE-INSERT 。传给该过程的参数是个结点 z ，并且有 z.key = v ， z.left = NIL 和 z.right = NIL 。
TREE-INSERT(T, z) 1 y = NIL 2 x = T.root 3 while x != NIL 4 y = x 5 if z.key < x.key 6 x = x.left 7 else 8 x = x.right 9 z.p = y 10 if y == NIL 11 T.root = z // tree T was empty 12 elseif z.key < y.key 13 y.left = z 14 else 15 y.right = z
TREE-INSERT 过程从根结点开始，并沿树下降。指针 x 跟踪了这条路径，而 y 始终指向 x 的父结点。过程根据 z.key 与 x.key 的比较结果，决定向左或向右转。这到 x 成为 NIL 为止。这个 NIL 所占位置即我们想插入项 z 的地方。
删除
将结点 z 从二叉查找树 T 中删除共有如下三种情况，其中一种有一点难懂。
- 如果结点 z 没有孩子结点，我们就可以直接使用
NIL来代替该结点。 - 如果结点 z 只有一个子女，可以直接用结点 z 的孩子结点替代 z 。
- 如果结点 z 有两个子女，首先要找到结点 z 的后继 y （它一定在 z 的右子树中），并用 y 替代 z 在树中的位置。
TREE-DELETE 过程用于从二叉查找树 T 中删除一个给定的结点 z ，它按如下四种情况组织代码。
- 如果结点 z 没有左孩子，那么我们用右孩子替换 z ，其中右孩子可能为
NIL。右孩子为NIL即结点 z 没有孩子结点的情况。 - 如果结点 z 有且只有左孩子，那么就用左孩子替代结点 z 。
- 否则，结点 z 有两个子结点。首先找到 z 的后继结点 y ，它位于 z 的右子树且没有左孩子。这里我们打算用 y 替换 z 。
- 如果 y 是 z 的右孩子，那么直接用 y 替换 z 。
- 否则，用 y 自己的右孩子替换 y ，再用 y 来替换 z 。
此外还有一个子程序 TRANSPLANT ，用于子树之间的替换。
TRANSPLANT(T, u, v) 1 if u.p == NIL 2 T.root = v 3 elseif u == u.p.left 4 u.p.left = v 5 else 6 u.p.right = v 7 if v != NIL 8 v.p = u.p
TREE-DELETE(T, z) 1 if z.left == NIL 2 TRANSPLANT(T, z, z.right) 3 elseif z.right == NIL 4 TRANSPLANT(T, z, z.left) 5 else 6 y = TREE-MINIMUM(z.right) 7 if y.p != z 8 TRANSPLANT(T, y, y.right) 9 y.right = z.right 10 y.right.p = y 11 TRANSPLANT(T, z, y) 12 y.left = z.left 13 y.left.p = y
