曲阜师范大学统计学院, 2021级数学与应用数学专业5-6班.

上课时间地点: 2-18周, 周二1-2节数学楼201，周四1-2节数学楼201.

教材: 实变函数与泛函分析基础(第四版), 程其襄张奠宙胡善文薛以锋编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040508109.

习题例题讲解

参考资料：

【1】实变函数与泛函分析基础(第四版)学习指导与习题解答, 胡善文薛以锋编, 高等教育出版社, 2021, ISBN: 9787040556582.

【2】实变函数（第二版）, 胡适耕编著, 高等教育出版社, 2014, ISBN: 9787040398878.

【3】 Analysis III, Herbert Amann, Joachim Esche. 世图影印本.

【4】 Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.), Gerald B. Folland. 世图影印本.

【5】 Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Elias M. Stein, Rami Shakarchi. 世图影印本.

作业

第2周
 第3周
 第4周
 第5周
 第6周
 第7周
 第8周
 第9周
 第10周
 第13周
 第14周
 第15周
 第16周
 第17周

第2周

书面作业

[解答] 设$\{f_n\}$是定义在集合$E$上的函数列, 证明:对$\forall c\in \Bbb{R}$, 有
(1) $$E\left[\varlimsup_{n\to \infty}f_n <c \right]=\bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty E\left[f_n<c-\frac{1}{k}\right];$$
(2) $$E\left[\varliminf_{n\to \infty}f_n >c \right]=\bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty E\left[f_n>c+\frac{1}{k}\right].$$
[解答] 设$f$和$g$均为定义在集合$E$上的函数, 证明:

\[E[f>g]=\bigcup_{r\in \Bbb{Q}}\left(E[f>r]\cap E[g<r] \right). \]

[解答] 设$\{E_n\}$是一个集列, 并且

\[A\subset E_n \subset B,\quad \forall n\in \Bbb{N}_+. \]

证明:　

\[A\subset \varliminf_{n\to \infty}E_n \subset \varlimsup_{n\to \infty}E_n \subset B. \]

[解答] 证明:

\[(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D),\\ (A\times B)\setminus (C\times D)=((A\setminus C)\times B) \cup (A\times (B\setminus D)).\]

非书面作业
做完第1章课后习题Ex1-Ex12.

第3周

书面作业

[解答] 设$X$和$Y$是两个集合, $f:X\to Y$是映射.
(1) 若$A,B\subset Y$, 证明:

\[f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B),\\ f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).\]
(2) 若$E,F\subset X$, 证明:
$$ f(E\cup F)=f(E)\cup (F),\
f(E\cap F)\subset f(E)\cap f(F).$$

(3) 举例说明, 当$E,F\subset X$时, 不一定成立
$$f(E\cap F)= f(E)\cap f(F).$$
(提示：考虑$f(1)=f(2)=1, f(3)=2$, 据此选取合适的$E,F$. )
[解答] 设$X$和$Y$是两个集合, $f:X\to Y$是映射, $A\subset X$, $B\subset Y$. 证明：
(1) $A\subset f^{-1}(f(A))$;
(2) $f(f^{-1}(B))\subset B$;
(3) 对任何$A\subset X$, 都成立$A=f^{-1}(f(A))$的充要条件是$f$为单射;
(4) 对任何$B\subset Y$, 都成立$f(f^{-1}(B))= B$的充要条件是$f$为满射.

非书面作业
做完第1章课后习题Ex13-Ex20 (不要求做Ex18).

第4周

书面作业

[解答] 设$F_1$是$\Bbb{R}^p$中的闭集, $G_1$是$\Bbb{R}^p$中的开集; $F_2$是$\Bbb{R}^q$中的闭集, $G_2$是$\Bbb{R}^q$中的开集. 证明: $F_1\times F_2$, $G_1\times G_2$分别是$\Bbb{R}^{p+q}$中的闭集, 开集.
[解答] 设$(X,\rho)$为度量空间, $A$为$X$中的紧集, $x_0\in X$. 证明:
(1) 存在$y_0\in A$, 使得

\[d(x_0,A)=\rho(x_0,y_0); \]
(2) 若$B$为$X$中的闭集, 并且$A\cap B=\emptyset$, 则

\[d(A,B)>0. \]

非书面作业

做完第2章全部课后习题.

第5周

书面作业

[解答] 设$(X,\rho)$为度量空间, $K_1$和$K_2$是$X$中不相交的紧集. 若函数$f$分别在$K_1$和$K_2$上连续, 则$f$也在$K=K_1\cup K_2$上也连续.

(提示: 1. 任取$x_0\in K$, 利用定义证明$f$在点$x_0$关于$K$连续; 2. 利用上周作业题第2题的结论说明, 当$\delta>0$足够小时, $U(x_0;\delta)\cap K$实际上就是$U(x_0;\delta)\cap K_1$或$U(x_0;\delta)\cap K_2$.)

[解答] 设$f$是定义在闭区间$[a,b]$上的有界函数, 点$x_0\in [a,b]$. 对任意$\delta>0$, 令

\[I_\delta =U(x_0;\delta) \cap [a,b], \]

\[\omega_\delta(f,x_0)=\sup_{x\in I_\delta}f(x)-\inf_{x\in I_\delta} f(x)=\sup_{x,x'\in I_\delta}|f(x)-f(x')|, \]

则称

\[\omega(f,x_0)=\lim_{\delta\to 0^+} \omega_\delta(f,x_0) \]

为$f$在点$x_0$处的振幅. 证明: $x_0$是$f$的连续点的充要条件为

\[\omega(f,x_0)=0. \]

非书面作业

预习教材后半泛函分析部分的7.2-7.3节内容.

第6周

书面作业

[解答] 设$X$为非空集合, 非空集族$\Bbb{M}\subset 2^X$. 证明: $\Bbb{M}$是$\sigma$-代数的充要条件为$\Bbb{M}$对集合的补集运算、有限并运算和可数不交并运算封闭, 即
(i) 若$E\in \Bbb{M}$, 则$E^c\in \Bbb{M}$;
(ii) 若$E_1$, $E_2$, $\cdots$, $E_N\in \Bbb{M}$, 则$\bigcup\limits_{n=1}^N E_n\in\Bbb{M}$;
(iii) 若集列$E_n\in \Bbb{M}$, $n\in \Bbb{N}_+$互不相交, 则$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n\in \Bbb{M}$.

(提示: 必要性显然成立, 只证明充分性即可, 尝试利用集列的不交分解技巧.)

[解答] 由$\Bbb{R}^n$中的所有开集生成的$\sigma$-代数成为$\Bbb{R}^n$上的Borel代数, 记为$\Bbb{B}(\Bbb{R}^n)$. 设$\tau_1$是$\Bbb{R}$中的所有有界开区间的集合, $\tau_2$是$\Bbb{R}^n$中所有左开右闭区间的集合, 证明:
\[\Bbb{B}(\Bbb{R})=\sigma(\tau_1), \quad \Bbb{B}(\Bbb{R}^n)=\sigma(\tau_2). \]

(提示: 若$\sigma$-代数$\Bbb{A}$包含$\Bbb{R}$中所有开集, 则$\Bbb{A}$显然也包含$\tau_1$; 再利用开集的构造定理证明, 若$\sigma$-代数$\Bbb{A}$包含$\tau_1$, 则$\Bbb{A}$也包含$\Bbb{R}$中所有开集; 最后根据“生成的$\sigma$-代数”的定义证明第一个等式成立. 按照类似的步骤证明第二个等式也成立.)

非书面作业

做完第3章习题Ex11，Ex12, Ex13, Ex14.

第7周

书面作业

[解答] 设$\Bbb{I}(n)$为$\Bbb{R}^n$中全体$n$维开区间构成的集族, $\Bbb{I}_l(n)$为$\Bbb{R}^n$中全体$n$维左开右闭区间构成的集族. 设
\[a=(a_1,\cdots,a_n)\in \Bbb{R}^n,\quad b=(b_1,\cdots,b_n)\in \Bbb{R}^n; \quad a_i<b_i,\quad \forall i=1,2\cdots,n. \]

规定开区间$(a,b)$和左开右闭区间$(a,b]$的体积均为

\[V_n(a,b)=V_n(a,b]=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i). \]

特别地, 规定$\Bbb{I}(n)$和$\Bbb{I}_l(n)$中都存在空集$\emptyset$, 空集的体积$V_n(\emptyset)=0$. 证明: 对任何集合$E\subset \Bbb{R}^n$, 都成立$m^*(E)=\lambda^*(E)$, 其中

\[\begin{aligned} m^*(E)=&\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty V_n(I_j) \mid I_j\in \Bbb{I}(n),\,j\in \Bbb{N}_+\text{并且}E\subset \cup_{j=1}^\infty I_j \right\},\\ \lambda^*(E)=&\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty V_n(J_k) \mid J_k\in \Bbb{I}_l(n),\,k\in \Bbb{N}_+\text{并且}E\subset \cup_{k=1}^\infty J_k \right\}. \end{aligned}\]

(提示：以$n=1$的情形为例. 任何开区间$(a,b)$, 在保持“体积”不变的情况下可以转化为左开右闭区间$(a,b]$, 据此推出任何开覆盖在保持体积和不变的情况下可转化为左开右闭覆盖, 最终结合集合包含关系与下确界的关系就可以推出$m^*(E)\geq \lambda^*(E)$; 反过来, 任取$\varepsilon>0$, 对于左开右闭区间$(a,b]$, 稍加扩大后可转化为开区间$(a, b+\varepsilon(b-a))$, 计算并观察这两个区间的体积有何联系，据此考察任意可数开覆盖中每个开区间经上述转化后所得的可数左开右闭覆盖的体积和与原先的可数开覆盖体积和的关系, 最终证得$m^*(E)\leq \lambda^*(E)$)

[解答] 设$\Bbb{I}(1)$是实数轴$\Bbb{R}$中全体开区间构成的集族, 并规定$\emptyset \in \Bbb{I}(1)$. 设$\alpha:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$是一个递增函数, 并且在$\Bbb{R}$上任一点都右连续. 对于开区间$(a,b)\in \Bbb{I}(1)$, 规定

\[\lambda_\alpha(a,b)=\alpha(b)-\alpha(a), \]

并且规定$\lambda_\alpha(\emptyset)=0$. 对任何$E\subset \Bbb{R}$, 定义

\[m_{\alpha}^*(E)=\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty \lambda_\alpha(I_j) \mid I_j\in \Bbb{I}(1),\,j\in \Bbb{N}_+\text{并且}E\subset \cup_{j=1}^\infty I_j \right\}, \]

则$m^*_{\alpha}$是$\Bbb{R}$上的外测度. 证明: 对任何左开右闭区间$(a,b]$, 都成立

\[m^*_{\alpha}((a,b])= \alpha(b)-\alpha(a). \]

(提示：参考教材6.6节的定理的证明)

非书面作业

做完第3章习题Ex1-Ex7, Ex9.

第8周

书面作业

[解答] 设$A$是$\Bbb{R}^p$中的Lebesgue可测集, $B$是$\Bbb{R}^q$中的Lebesgue可测集, 证明:
(1) $A\times B$是$\Bbb{R}^{p+q}$中的Lebesgue可测集;
(2) 若$m(A)=0$或者$m(B)=0$, 则$m(A\times B)=0$.

非书面作业

做完第3章剩余的习题: Ex8, Ex10, Ex15-Ex17.
复习数学分析中的上下极限的内容：数学分析教材上册2.3-Ex12, 7.2节全部内容.
阅读《Lebesgue积分的产生及其影响》.

第9周

书面作业

[解答] 设$(X,\Bbb{M})$为可测空间, $E\in \Bbb{M}$, $f:E\to \overline{\Bbb{R}}$是定义在$E$上的实值函数. 证明以下论断等价:
(1) $f\in M(E)$;
(2) 对于$\Bbb{R}$中任何开集$U$, 都有$f^{-1}(U)\in \Bbb{M}$, $E[f=+\infty]\in \Bbb{M}$;
(3) 对于$\Bbb{R}$中任何Borel集$B$, 都有$f^{-1}(B)\in \Bbb{M}$, $E[f=+\infty]\in \Bbb{M}$.

(提示: 利用实数集$R$中的开集的构造定理以及4.1节讲义的定理2, 结合$\sigma$-代数对某些集合运算的封闭性. 证明(2)推(3)时, 先利用原像集的一些性质证明以下结论: $\Bbb{R}$中所有满足$f^{-1}(F)\in \Bbb{M}$的集合$F$构成的集族$\Bbb{A}$是$\Bbb{R}$上的一个$\sigma$-代数.)

非书面作业

做完教材第4章习题Ex1-Ex8.

第10周

书面作业

[解答]设$f$在$[a,b]$上有界. 对任意$n\in \Bbb{N}_+$, 对$[a,b]$作对应的分割
\[T_n: a=x_0^n<x^n_1<\cdots <x^n_{k(n)}=b. \]

令

\[\begin{aligned} M_i^n&=\sup \{f(x)\mid x_{i-1}^n \leq x\leq x_i^n \},\\ m_i^n&=\inf \{f(x)\mid x_{i-1}^n \leq x\leq x_i^n \}, \quad i=1,2,\cdots, k(n), \end{aligned} \]

并定义非负简单函数列

\[h_n(x)= \begin{cases} M_i^n-m_i^n,&\text{若}x\in (x^n_{i-1},x^n_i),\\ 0,&\text{若}x\text{是}T_n\text{中的分点}, \end{cases} \quad n\in \Bbb{N}_+. \]

证明: 若$\lim\limits_{n\to \infty}\|T_n\|=0$, 则

\[h_n(x)\to \omega (f,x),\quad \text{a.e. } x\in [a,b], \]

其中$\omega (f,x)$是函数$f$在点$x$处的振幅.

(提示：1. 振幅$\omega (f,x)$的内容见Ch2-补充题3; 2. 本题是为了证明教材5.5节的内容做准备.)

非书面作业

做完教材第4章剩余习题.

第13周

书面作业

[解答] 设$(X,\Bbb{M},\mu)$为测度空间, $E\in \Bbb{M}$并且$\mu(E)<+\infty$, $f\in M^+(E)$并且$f$在$E$上a.e.有限. 对$[0,+\infty)$做分割

\[T:0=y_ 0<y_1<y_2<\cdots<y_{n-1}<y_{n}<\cdots \to +\infty, \]

其中

\[\|T\|=\sup_{n\in\Bbb{N}_+}(y_n-y_{n-1})<+\infty. \]

令

\[E_n=E[y_{n-1}\leq f<y_n],\quad n\in \Bbb{N}_+, \]

证明: $f\in L(E)$的充要条件是

\[\sum_{n=1}^\infty y_n \mu(E_n)<+\infty, \]

特别地, 当$f\in L(E)$时, 还成立

\[\int_E f {\rm d}\mu =\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{n=1}^\infty y_n \mu(E_n)<+\infty. \]

(提示：这道题就是要证明我们讲的Lebesgue积分定义与早期的Lebesgue积分定义（教材68页）是一致的. 证明可参考习题Ch5-Ex3的证明方法.)

非书面作业

第五章习题Ex1-Ex3, Ex5-Ex6, Ex8-Ex9, Ex15, Ex17, Ex21-Ex23, Ex27-Ex30.

第14周

书面作业

[解答] 应用积分的收敛性定理(Levi定理、Fatou引理、Lebesgue控制收敛、逐项积分或逐项求导定理及其推论等)计算以下问题：

(1)

\[\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} {\rm d}x; \]

(2)

\[\lim_{n\to \infty} \int_0^{+\infty} e^{-x}\cos x \frac{\ln (n+x)}{n} {\rm d}x; \]

(3)

\[\lim_{n\to \infty} \int_0^{+\infty} \frac{n\sqrt{x}}{1+n^2 x^2} \sin^{5} x {\rm d}x; \]

(4)

\[I(p)=\int_0^{+\infty} e^{-px} \frac{\sin x}{x} {\rm d} x,\quad p>0; \]

(5)

\[I(r)= \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} \cos rx {\rm d} x,\quad r \in \Bbb{R}. \]

(提示必须详细验证所用到的定理的条件是否满足.)

第15周

[解答] 设$(X,\Bbb{M},\mu)$是一个测度空间, $E\in \Bbb{M}$. 记
\[L^r(E)=\left\{f\in M(E)\ \Big|\ \int_E |f|^r{\rm d}\mu<+\infty \right\} \]

其中$r>0$. 证明:
(1) 当$p,q>1$满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$时, 对任何$f\in L^p(E)$, $g\in L^q(E)$, 都有$fg\in L(E)$, 并且成立Hölder不等式

\[\int_E |fg| {\rm d}\mu\leq \left(\int_E |f|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int_E |g|^q{\rm d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}; \]

(2) 当$p\geq 1$时, 对任何$f,g\in L^p(E)$, 都有$f+g\in L^p(E)$, 并且成立Minkowski不等式

\[\left(\int_E |f+g|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_E |f|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} +\left(\int_E |g|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}; \]

(3) 若$\mu(E)<+\infty$, 则当$p>q\geq 1$时, 成立$L^p(E)\subset L^q(E)$.

(提示：利用Young不等式, 参考有限和形式的Hölder不等式与Minkowski不等式的证明过程. 第(3)小题可利用第(1)小题的Hölder不等式, $g$取为常值函数1.)

第16周

[解答] 设$(X,\Bbb{M},\mu)$是一个测度空间, $E\in \Bbb{M}$, $p\in [1,+\infty)$, 函数列$f_n\in L^p(E)$, $n\in\Bbb{N}_+$并且满足Cauchy条件: 对任意$\varepsilon>0$, 存在$N\in \Bbb{N}_+$, 使得当$m,n\geq N$时, 总成立
\[\|f_m-f_n\|_p <\varepsilon. \]

证明: 存在$f\in L^p(E)$, 使得

\[\|f_n-f\|_p\to 0. \]

(提示：符号$\|f\|_p$的具体含义见上周作业题的解答视频. 证明过程可参考教材第144页, 但是注意本题并没有限制$E=[a,b]$, 也没有限制$\mu(E)<+\infty$, 不能像教材中那样使用Hölder不等式.)

第17周

设$f$是$[0,T]$上的绝对连续函数, 并且满足

\[f'(t)\leq \alpha(t) f(t)+\beta(t),\quad \textrm{a.e. }t\in [0,T], \]

其中$\alpha,\beta$均为$[0,T]$上的非负Lebesgue可积函数. 证明:

\[f(t)\leq e^{\int_0^t \alpha(s)\textrm{d}s}\left[ f(0)+\int_0^t \beta(s)\textrm{d} s \right],\quad \forall t\in [0,T]. \]

设$f$是$[0,T]$上的Lebesgue可积函数, 并且满足
\[f(t)\leq C_1 \int_0^t f(s)\textrm{d}s+C_2,\quad \textrm{a.e. }t\in ]0,T], \]

其中$C_1,C_2\geq 0$. 证明:

\[f(t)\leq C_2\left(1+C_1 t e^{C_1 t} \right),\quad \textrm{a.e. }t\in [0,T]. \]

(提示: 上述两题的条件分别称为微分形式的Gronwall不等式和积分形式的Gronwall不等式, 利用第1题的结论可以证明第2题. 当$f$的性质比较好(例如连续可导)时, 可利用常微分方程中的积分因子技巧证明第1题; 对于$f$是绝对连续函数的情形, 证明方法类似, 但是需要利用Lebesgue积分框架下的微积分学基本定理和Newton-Leibniz公式.)

posted @ 2023-02-23 10:25 SunFengLong 阅读(2926) 评论(0) 编辑收藏举报

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