曲阜师范大学统计学院, 2021级统计学专业.

上课时间地点: 1-18周, 周一1-2节综合楼506，周三3-4节综合楼606，周五1-2节综合楼506. 6课时/周, 共计108课时.

教材:

数学分析(下册，第五版), 华东师范大学数学科学学院编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.

教学日历

习题课视频

参考资料：

【5】数学分析（第二版）, 梅加强编著, 高等教育出版社, 2020, ISBN: 9787040533446.

作业

第1周
 第2周
 第3周
 第6周
 第7周
 第8周
 第9周
 第10周
 第11周
 第12周

第1周

书面作业

[解答] 证明: 平面$\Bbb{R}^2$中非空集合$F$是闭集的充要条件是$F$中任何收敛点列$\{P_m\}$的极限点$P_0$都属于$F$.
（提示：必要性的证明, 假设$P_0$不属于闭集$F$, 则$P_0$既不是$F$的内点也不是$F$的界点, 从而$P_0$是闭集$F$的外点, 在此基础上继续推出矛盾. 充分性的证明, 可以用16.1-Ex3中聚点的等价定义.）

非书面作业

做完16.1节的习题.

第2周

书面作业

[解答] 设$f$是点集$D\subset \Bbb{R}^2$上的函数, $P_0\in D$. 证明$f$在点$P_0$关于$D$连续的充要条件为: 对于$D$中任何收敛于点$P_0$的点列$\{P_n\}\subset D$, 都成立

\[\lim_{n\to\infty}f(P_n)=f(P_0). \]

非书面作业

做完第16章剩余的习题.

第3周

书面作业

[解答] 设$D$为$\Bbb{R}^n$中的开集, $P_0\in D$. 对任意$i=1,2,\cdots, n$, 称$n$元函数

\[\pi^i: x=(x_1,x_2,x_3,\cdots, x_n) \in \Bbb{R}^n \mapsto x_i\in \Bbb{R} \]

为点(或向量) $x=(x_1,x_2,x_3,\cdots, x_n)$的第$i$个坐标函数.

(1) 对任意$i=1,2,\cdots, n$, 证明坐标函数$\pi^i$在点$P_0$可微, 并求出该函数在$P_0$的微分${\rm d}\pi^i(P_0)$的具体表达式.
(提示: 求微分${\rm d}\pi^i(P_0)$的具体表达式, 就是写出对任意$h=(h_1,h_2,\cdots,h_n)\in \Bbb{R}^n$, $[{\rm d}\pi^i(P_0)]h=?$)

(2) 通过第(1)小题, 我们知道${\rm d}\pi^i(P_0)$是$\Bbb{R}^n$上的线性函数, 从而${\rm d}\pi^i(P_0)\in \left(\Bbb{R}^n\right)^*$，其中$\left(\Bbb{R}^n\right)^*$是$\Bbb{R}^n$的对偶空间. 证明

\[{\rm d}\pi^1(P_0), {\rm d}\pi^2(P_0),\cdots, {\rm d}\pi^n(P_0) \]

是$\Bbb{R}^n$中的标准正交基$e_1,e_2, \cdots, e_n$的对偶基, 即

\[[{\rm d}\pi^i(P_0)]e_j= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\neq j. \end{cases} \]

(3) 若$n$元函数$f:D\to \Bbb{R}$在点$P_0$可微, 我们知道${\rm d}f(P_0)\in \left(\Bbb{R}^n\right)^*$. 证明$\left(\Bbb{R}^n\right)^*$中的向量${\rm d}f(P_0)$在基

\[{\rm d}\pi^1(P_0), {\rm d}\pi^2(P_0),\cdots, {\rm d}\pi^n(P_0) \]

下可以表示为

\[{\rm d}f(P_0)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(P_0)\,{\rm d}\pi^i(P_0). \]

（提示：证明两个线性函数$\Bbb{A}$，$\Bbb{B}$相等，只需要证明，对任意的$h\in \Bbb{R}^n$, 都成立$\Bbb{A}h=\Bbb{B}h$.）

第6周

书面作业

[解答] 设$f:\Bbb{R}^n\to \Bbb{R}$在整个$\Bbb{R}^n$上连续, 并且满足

\[\lim_{\|P\|\to +\infty} f(P)=+\infty, \]

即对于任意的正数$M>0$, 存在$G>0$, 使得当点$P\in \Bbb{R}^n$满足$\|P\|>G$时, 总成立

\[f(P)>M. \]

证明$f$在$\Bbb{R}^n$上可以取到最小值.

(提示: 参考Ch4-总Ex2.)

非书面作业

做完第17章习题.

第7周

书面作业

设$D$为$\Bbb{R}^n$中的开集, 向量函数$f: D\to \Bbb{R}^n$在$D$上连续可微. 证明: 如果

\[{\rm det\ }f'(x)\neq 0,\quad \forall x\in D, \]

则$f(D)$也是$\Bbb{R}^n$中的开集.

（提示: 先想想$n=1$的情形应该如何证明。）

非书面作业

做完第18.1和18.2节习题.

第8周

书面作业

[解答] 利用Lagrange乘子法证明: 在周长为2p的一切三角形中, 面积最大的是等边三角形.

(提示：题目与17.4-Ex10一致，但是17.4-Ex10是转化为二元函数的无条件极值问题来解决的. 本作业题要求把它作为条件极值问题来处理, 目标函数(即三角形面积)是关于三条边边长的三元函数.)

非书面作业

做完第18章剩余习题.

第9周

书面作业

[解答] 设二元函数$f(x,y)$在矩形区域

\[D=[a,b]\times [c,d] \]

上连续. 证明: 二元函数
$$F(x,u)=\int_a^u f(x,y) {\rm d} y$$
在$D$上连续.

(提示：需要注意, 多元函数对每个变元单独连续，保证不了该函数连续. 证明多元函数的连续性，可借助连续性的点列定义, 即第2周作业题的结论, 将原问题转化为数列极限问题. )

非书面作业

做完第19.1节习题和19.2-Ex1，19.2-Ex3

第10周

[解答] 利用含参量无穷积分的积分法计算以下无穷积分

\[I=\int_0^{+\infty} \frac{\cos ax-\cos b x}{x^2}{\rm d}x,\quad b>a>0. \]

注意:1. 需要验证$x=0$确实不是被积函数的瑕点; 2. 需要说明含参量无穷积分的一致收敛性（可以指出用到了哪道例题的结论）； 3. 需要验证积分次序可以交换顺序.

非书面作业

做完第19章剩余习题

第11周

书面作业

设

\[\eta(x)= \begin{cases} Ce^{\frac{1}{x^2-1}},& |x|<1,\\ 0,& |x|\geq 1, \end{cases}\]

其中$C>0$是满足

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\eta(x){\rm d}x=1 \]

的固定常数. 任取$\delta>0$, 定义函数

\[\eta^{\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\eta\left(\frac{x}{\delta}\right),\quad x\in (-\infty,+\infty). \]

设$f$为定义在$\Bbb{R}$上的连续函数, 令

\[f^\delta(x)=(f*\eta^{\delta})(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\eta^{\delta}(x-y){\rm d}y. \]

证明:

(1) $f^{\delta}$在$\Bbb{R}$上无穷次可微;

(2) 在任意有限闭区间$[a,b]$上, 总成立$$\lim_{\delta\to 0^+} \max_{x\in[a,b]}|f^{\delta}(x)-f(x)|=0.$$

（提示：1. 当$x$固定时, 因为函数$\eta^{\delta}$的特殊性, $\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\eta^{\delta}(x-y){\rm d}y$实际起作用的积分区域是一个有限闭区间; 2. $\eta(x)$在$\Bbb{R}$上无穷次可微; 3. 第（2）小题中需要用到对$\eta(x)$中的常数$C$的限制. ）

第12周

书面作业

设平面金属薄片所占的区域是由直线$x+y=2$, $y=x$和$x$轴所围成, 它的面密度为$\rho(x,y)=x^2+y^2$, 求这个薄片的质量.
一块非均匀金属块在空间中的表示是由双曲抛物面$z=xy$, 平面$x+y=1$和$z=0$所围成的区域$\Omega$, 其密度函数为$\rho(x,y,z)=xy$, 求该金属块的质量.

posted @ 2022-09-02 11:06 SunFengLong 阅读(1475) 评论(0) 编辑收藏举报

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2022-2023学年第1学期-数学分析3

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