2021-2022学年第2学期-数学分析2

课程信息

作业

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课程信息

曲阜师范大学统计学院, 2021级统计学专业.

上课时间地点: 1-18周, 周一1-2节综合楼306，周二5-6节综合楼606，周四1-2节综合楼306. 6课时/周, 共计108课时.

教材:
数学分析(上册，第五版), 华东师范大学数学科学学院 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945.

数学分析(下册，第五版), 华东师范大学数学科学学院 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.

教学日历

课程讲义 提取码: 62rk

习题课视频

参考资料：

【1】数学分析(第一卷)(第7版), [俄] B.A.卓里奇 著, 李植 译, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040287554.

【2】微积分学教程(第二卷，第8版), [俄] 菲赫金哥尔茨 著, 徐献瑜、冷生明、梁文骐 译, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183047.

【3】Writing Proofs in Analysis, Jonathan M. Kane, Springer, 2016, ISBN: 9783319309651.

【4】吉米多维奇数学分析习题集学习指引（第2册）, 沐定夷、谢惠民 编, 高等教育出版社，2011， ISBN: 9787040323566.

【5】数学分析（第二版）, 梅加强 编著, 高等教育出版社, 2020, ISBN: 9787040533446.

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作业

第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
第9周
第10周
第11周
第12周
第13周
第14周

第3周

书面作业

1. [解答]设\(f\in R[a,b]\), 并且\(\displaystyle J=\int_a^b f(x){\rm d}x\). 证明: 对任意\(\varepsilon>0\), 存在\([a,b]\)的子区间\([\alpha,\beta]\), 使得
   \[f(x)<\frac{J}{b-a}+\varepsilon,\quad \forall x\in [\alpha,\beta]. \]
   (提示: 反证法, 假设结论不成立(关键之处, 结论的否定形式是什么), 据此考察\([a,b]\)的任一分割\(T\)上的Darboux上和\(U(f,T)\), 再进一步考察Darboux上积分, 得到矛盾.)

非书面作业

1. 继续反复练习第8章不定积分的例题和习题;

2. 做完第9章前3节的习题.

第4周

书面作业

1. [解答] 按照以下步骤证明圆周率\(\pi\)是无理数.

   Step1. 设\(a,b\)为正整数. 对任意\(n\in \Bbb{N}_+\), 定义多项式函数

   \[f(x)=\frac{x^n (a-bx)^n}{n!}. \]

   求\(f(x)\)的展开式中含\(x\)的项的最高次数和最低次数.

   Step2. 结合Step1的结论并注意到

   \[f(x)=f\left(\frac{a}{b}-x\right), \]

   验证\(f\)及其\(j=2,4,6,\ldots,2n\)阶导函数\(f^{(j)}\) 在点\(x=0\)和\(x=\frac{a}{b}\)的函数值均为整数.

   Step3. 令
   $$F(x)=f(x)- f''(x)+ f^{(4)} (x)-\cdots+(-1)^n f^{(2n)} (x).$$
   验证

   \[F'(x)\sin x-F(x)\cos x \]

   是\(f(x)\sin x\)的一个原函数.

   Step4. 反证法. 假设\(\pi\)不是无理数而是有理数, 可表为既约分数\(\frac{a}{b}\), 其中\(a,b\)均为正整数. 按照前3步的过程定义函数\(f\)和\(F\), 证明
   \(\displaystyle \int_0^\pi f(x)\sin x{\rm d}x\)是整数.

   Step5. 当\(x\in \left(0,\pi\right)\)时, 验证不等式

   \[0<f(x)<\frac{\pi^n a^n}{n!}. \]

   最后, 与Step4的结论做对比, 得出矛盾.
   (提示: 数列\(\left\{ \frac{c^n}{n!} \right\}\)极限是多少？)

非书面作业

1. 整理本周课堂笔记;
2. 做完9.4节习题.

第5周

书面作业

1. [解答] 令

   \[I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} {\rm d}x,\quad n=0,1,2，\cdots. \]

   (1) 求\(\lim\limits_{n\to \infty} I_n\); （提示：利用9.4节例3的分析方法）

   (2) 求\(I_n\)的递推公式; (提示：\(\frac{x^n}{1+x}=\frac{x^{n-1}\cdot x}{1+x}=x^{n-1}\cdot \left(1-\frac{1}{1+x}\right)\))

   (3) 利用前两个小题的结论计算数列极限

   \[\lim_{n\to \infty} \left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n} \right]. \]

非书面作业

1. 做完9.5节习题和第9章总练习题.

第6周

书面作业

1. [解答] 设曲线C极坐标方程为\(r=\cos 3\theta\), 按以下过程画出\(0\leq \theta\leq \pi\)时曲线C的图像.

Step1. 当\(\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\)时, 通过极坐标方程得到的极坐标\((r,\theta)\)都是主值极坐标. 通过描点法画出\(\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\)时曲线C的图像;

Step2. 当\(\theta\in \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]\)时, 通过极坐标方程得到的极坐标\((r,\theta)\)不是主值极坐标, 将这些极坐标转化为主值 极坐标, 再利用主值极坐标的几何意义通过描点法画出\(\theta\in \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]\)时曲线C的图像;

Step3. 考察\(\theta \in \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3}\right]\), \(\left(\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right]\), \(\left(\dfrac{5\pi}{6},\pi\right]\)的情形, 仿照Step1和Step2的过程, 利用主值极坐标的几何意义通过描点法画出相应情形下曲线C的图像;

Step4. 用箭头标记\(\theta\)从\(0\)连续变动到\(\pi\)的过程中曲线上对应的动点的移动轨迹，按先后顺序用数字标记每一个弧段.

非书面作业

1. 做完10.1节习题中和极坐标方程无关的题目.
2. 继续练习不定积分和定积分的计算, 特别是换元积分法和分部积分法.

第7周

书面作业

1. [解答] 设
   (i) \(\varphi\)在\([\alpha,+\infty)\)上可导并且对任意\(u>\alpha\), \(\varphi'\)都在\([\alpha,u]\)上可积;
   (ii) \(\varphi(\alpha)=a\). 对任意\(u>\alpha\), 有\(\varphi(u)>a\)并且\(\varphi([\alpha,u])\subset [a,\varphi(u)]\);
   (iii) \(\lim\limits_{t\to +\infty}\varphi(t)=A>a\), 并且\(\varphi([\alpha,+\infty))\subset [a,A)\).
   (iv) \(f\)在\([a,A)\)上连续；

(1) 若\(A=+\infty\), 证明无穷积分\(\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x\)与\(\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t\)同敛态(即敛散性相同). 特别地, 在同时收敛的情形下, 还成立

\[\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x=\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t. \]

(2) 若\(A<+\infty\)并且\(x=A\)为瑕积分\(\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x\)的瑕点, 证明瑕积分\(\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x\)与无穷积分\(\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t\)同敛态(即敛散性相同). 特别地, 在同时收敛的情形下, 还成立

\[\int_a^{A}f(x){\rm d}x=\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t. \]

(3) 若\(A<+\infty\), 并且可以补充\(f\)在点\(x=A\)的值使得\(f\)在闭区间\([a,A]\)上可积, \(\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x\)为正常积分. 证明无穷积分\(\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t\)收敛并且

\[\int_a^{A}f(x){\rm d}x=\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t. \]

(提示: 利用定积分的换元积分法. 反常积分本质上就是变限积分取极限.)

非书面作业

1. 做完10.1-10.4节的习题;
2. 做完11.1节的习题.

第8周

书面作业

1. [解答] 设\(f\)在\([a,b)\)上有定义, 对任意\(u\in [a,b)\), \(f\in R[a,u]\), 点\(x=b\)为函数\(f\)的瑕点. 仿照瑕点为区间左端点的瑕积分的Cauchy判别法(推论3), 叙述并证明本题中瑕点为区间右端点的瑕积分\(\displaystyle \int_a^b f(x){\rm d}x\)的Cauchy判别法. (要求: 不借助性质4, 而是仿照推论3的证明思路.)

非书面作业

1. 做完第11章的所有习题.

第9周

书面作业

1. [解答] 设\(u_n\geq 0\), \(\forall n\in \Bbb{N}_+\), 并且数列\(\{u_n\}\)中有无限多项为正实数. 将级数\(\sum\limits_{n=1}^n u_n\)中取值为0的项都去掉, 所得的级数记为\(\sum\limits_{k=1}^\infty v_k\). 证明: \(\sum\limits_{n=1}^n u_n\)与\(\sum\limits_{k=1}^\infty v_k\)同敛态, 特别地, 对于收敛的情形, 还成立

\[\sum_{n=1}^n u_n=\sum_{k=1}^\infty v_k. \]

(关键：证明\(\sum\limits_{k=1}^\infty v_k\)的部分和数列\(\{\sigma_k\}\)是\(\sum\limits_{n=1}^n u_n\)的部分和数列\(\{S_n\}\)的子列.)

非书面作业

1. 做完12.1节习题；
2. 复习刚刚学完的一元函数积分学部分的内容.

第10周

书面作业

1. 设\(u_n>0\), \(\forall n\in\Bbb{N}_+\).

(1) 证明以下两个条件等价：

(P) 存在\(N\in\Bbb{N}_+\)以及\(\lambda>1\), 使得\(n\geq N\)时, 成立
$$n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)>\lambda;$$

(P') 存在\(N\in\Bbb{N}_+\)以及\(r >1\), 使得\(n\geq N\)时, 成立
$$n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right)>r.$$

(2) 证明以下两个条件等价：

(Q) 存在\(N\in\Bbb{N}_+\), 使得\(n\geq N\)时, 成立
$$n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)\leq 1;$$

(Q') 存在\(N\in\Bbb{N}_+\), 使得\(n\geq N\)时, 成立
$$n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right)\leq 1.$$

非书面作业

1. 做完第12章全部习题；
2. 复习一元函数积分学部分的内容，准备期中考试.

第11周

书面作业

1. 证明函数列\(\{f_n\}\)在数集\(D\)上不一致收敛的充要条件是: 存在数列\(\{x_n\}\subset D\), 使得数列\(\{f_n(x_n)-f(x_n)\}\)不收敛于0.

非书面作业

1. 做完13.1节习题第1题.

第12周

书面作业

1. [解答] 设\(\{f_n\}\)是定义在\([a,+\infty)\)上的函数列, 并且
   (i) 对任意\(n\in \Bbb{N}_+\), 无穷积分\(\displaystyle\int_a^{+\infty}f_n(x){\rm d}x\)都收敛;
   (ii) \(\{f_n\}\)在\([a,+\infty)\)上内闭一致收敛于\(f\);
   (iii) 存在定义在\([a,+\infty)\)上的非负函数\(F\), 满足无穷积分\(\displaystyle \int_a^{+\infty}F(x){\rm d}x\)收敛并且
   \[|f_n(x)|\leq F(x) ，\quad \forall x\in [a,+\infty),\ \forall n\in \Bbb{N}_+. \]

证明: 无穷积分\(\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x\)也收敛, 并且

\[\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x=\lim_{n\to\infty} \int_a^{+\infty}f_n(x){\rm d}x \]

非书面作业

1. 做第13章所有习题.

第13周

1. [解答] （证明收敛半径的存在性) 设幂级数\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收敛域\(D\)是有界集, 并且\(D\)中含有非零的点. 证明: 存在\(R\in (0,+\infty)\), 使得
   (i) 当\(x_0\in (-R,R)\)时, 幂级数\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在点\(x_0\)绝对收敛；
   (ii) 当\(|x_0|>R\)时, 幂级数\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在点\(x_0\)发散.
   (提示: 令\(R=\sup\limits_{x\in D}|x|\), 利用幂级数的Abel定理证明这样定义的\(R\)符合题目要求.)

非书面作业

1. 做完14.1节习题;
2. 复习上册第6章Taylor公式的内容, 以及9.5节Taylor公式的积分型余项.

第14周

1. 设函数项级数\(\sum\limits_{n=1}^n f_n(t)\)的收敛域为区间\(D\), 并且在\(D\)上内闭一致收敛. 若函数\(g\)在区间\(I\)上连续, 并且\(g(I)\subset D\), 证明: 函数项级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n\left(g(x)\right)\)在区间\(I\)上内闭一致收敛.
   (提示：若\(g\in C[a,b]\), 则根据连续函数的介值性定理的推论可知\(g([a,b])\)也是闭区间.)

非书面作业

1. 做完14.2节习题;
2. 复习第12章数项级数内容.

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