2021-2022学年第1学期-数学分析1
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课程信息
曲阜师范大学统计学院, 2021级统计学专业.
上课时间地点: 5-18周, 周二3-4节综合楼306，周三1-2节综合楼201，周五1-2节综合楼301. 6课时/周, 共计84课时.
教材:
数学分析(上册，第五版), 华东师范大学数学科学学院 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945.
课程讲义 提取码: 62rk
参考资料：
【1】数学分析(第一卷)(第7版), [俄] B.A.卓里奇 著, 李植 译, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040287554.
【2】微积分学教程(第一卷，第8版), [俄] 菲赫金哥尔茨 著, 杨弢亮、叶彦谦 译, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183030.
【3】Writing Proofs in Analysis, Jonathan M. Kane, Springer, 2016, ISBN: 9783319309651.
【4】吉米多维奇数学分析习题集学习指引（第1册）, 沐定夷、谢惠民 编, 高等教育出版社，2010， ISBN: 9787040295313.
作业
第5周
第6周
第7周
第8周
第9周
第10周
第11周
第12周
第13周
第14周
第15周
第16周
第5周
书面作业
-
[本题的解答] 设\(q>1\). (以下题目不得使用对数运算)
(1) 证明: 集合
\[S=\{q^k\ |\ k\in \Bbb{N}_+\} \]无上界;
(2) 证明: 对任意\(\varepsilon>0\), 存在正整数\(M\), 使得当\(n\in \Bbb{N}_+\)并且\(n>M\)时, 都成立
\[0<\frac{1}{q^n} <\varepsilon; \](3) 设\(c>0\), 证明: 集合
\[E=\{k\in \Bbb{Z}\ |\ c< q^k \} \]存在最小值.
-
(数学写作规范) 观察数学分析教材或者高等代数教材, 回答以下问题：
(1) 教材正文中使用的标点符号是中文标点符号还是英文标点符号？
(2) 输入中文标点后，不需要空格，直接写下一句。输入英文标点(特别是逗号和句号)后, 是否需要空一格再输入下一句话？
非书面作业
- 自己做完1.1节全部习题和1.2节习题的第1题到第5题；
- 预习1.3节和1.4节的全部内容；
- 观看b站视频：极限的严格定义(\(\varepsilon\)-\(\delta\) definition)
- 观看b站视频: 数学分析简史
第6周
书面作业
-
[本题的解答] 按以下步骤证明指数函数
\[f(x)=a^x,\quad x\in (-\infty,+\infty) \]的值域是\((0,+\infty)\), 其中\(a>1\). 也就是证明, 对任何正数\(y>0\), 方程
\[a^x=y \]都存在实数解.
Step 1. 证明: 存在\(m,n\in\Bbb{N}_+\), 使得
\[a^{-n}< y < a^m; \]Step 2. 若存在实数\(x\), 使得\(a^x< y\), 则必存在\(n\in \Bbb{N}_+\)使得
\[a^{x+\frac{1}{n}}< y; \]Step3. 若存在实数\(x\), 使得\(a^x>y\), 则必存在\(n\in\Bbb{N}_+\)使得
\[a^{x-\frac{1}{n}}> y; \](提示: 前3步都可利用上一周作业题1(1)的结论来证明.)
Step 4. 利用Step 1的结论证明: 集合
\[S=\{r\in \Bbb{Q}\ | \ a^r<y \} \]是非空的有上界的集合;
Step 5. 记\(x=\sup S\). 结合Step 2和Step 3的结论, 利用反证法证明:
\[a^x=y. \](提示: 利用反证法可推导出与"\(x\)是集合\(S\)的上确界"矛盾的结论.)
-
(数学写作规范) 观察数学分析教材或者高等代数教材, 回答以下问题：
(1) 数学式子(特别是在式子输入完毕时)需要使用标点符号吗？
(2) 阅读以下句子, 用红笔标记出其中标点符号的错误或缺失，并改正:
\(\Bbb{R}^2\)的如下映射\(L_v\):
\[(\xi, \tau)=L_v (x,t) \]其中\(v\)是一个满足要求\(0\leq v < c\)的实数, \(c\)表示光速.
根据图像可知, 函数
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1,&\quad x\in [-1,0)\\ 2x-2,&\quad x\in [0,1] \end{array} \right.\]不是区间\([-1,1]\)上的增函数。
非书面作业
做完本章全部习题
第7周
书面作业
-
[本题解答] 按照数列极限的\(\epsilon-N\)定义验证极限等式
\[\lim_{n\to \infty} \dfrac{n^k}{a^n}=0, \]其中\(k\in \Bbb{N}_+\), \(a>1\).
(提示 设\(a=1+h\), 其中\(h>0\). 对分母\((1+h)^n\)利用二项式展开，在\(n>k\)的前提下, 分母只保留\(C_n^{k+1}h^{k+1}\), 再估计\(\frac{n^k}{C_n^{k+1}}\).)
-
(数学写作规范) 用红笔标出下图中的标点符号缺失或错误的地方，并修改.
非书面作业
做完2.1节全部习题和2.2节除了Ex6, Ex7的全部习题.
第8周
书面作业
-
[本题解答] 设\(a\in \Bbb{R}\), \(\delta>0\), 证明:
(1) 在\(a\)的去心左邻域\(U_-^0(a;\delta)=(a-\delta,a)\)内存在严格递增的有理数列\(\{r_n\}\), 满足
\[\lim_{n\to \infty}r_n=a; \](2) 在在\(a\)的去心右邻域\(U_+^0(a;\delta)=(a,a+\delta)\)内存在严格递减的无理数列\(\{s_n\}\), 满足
\[\lim_{n\to \infty}s_n=a. \]
(提示 参考2.3节例3的证明过程, 结合有理数和无理数在实数集中的稠密性.)
-
(数学写作规范) 重新排版下图里的内容, 要求:
(1) 让读者一眼就能看出哪部分是题干, 哪部分是解答;
(2) 思考是否在需要的地方进行分段, 分段是否要在段首缩进两个字;
(3) 改正其中的标点符号错误和几处错误断行;
(4) 重新对数学公式进行编号, 删除其中冗余的公式编号, 只保留需要的公式编号.
来源: 学生提交的毕业论文
非书面作业
-
做完第2章全部习题;
-
阅读Halmos的自传《我要作数学家》前3章.
第9周
书面作业
- [本题解答] 设
(i) \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=A\), 并且存在\(a\in \Bbb{R}\), 使得当\(x>a\)时, 总有
$$f(x)>A;$$
(ii) \(\lim\limits_{t\to A^+} g(t)=B\),
其中\(A,B\in \Bbb{R}\). 证明:
- (数学写作规范) 列出所有24个希腊字母的大小写及英文名称.
非书面作业
-
做完3.1，3.2节习题, 3.4节Ex1~Ex3, 第三章总练习题Ex1.
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阅读ukim于2002年在北大未名bbs连载的数学家的故事——Heroes in My Heart.
第10周
书面作业
-
[本题解答] 设函数\(f\), \(g\)和\(h\)在点\(x_0\)的某去心邻域\(U^\circ\left(x_0;\delta_0\right)\)上有定义, 并且
\[f(x) \leq h(x)\leq g(x),\quad \forall x\in U^\circ\left(x_0;\delta_0\right). \](1) 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty\), 结合正无穷大量的定义证明: \(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=+\infty\);
(2) 若\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=-\infty\), 结合负无穷大量的定义证明: \(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=-\infty\);
(3) 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)并且\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty\), 是否成立\(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=\infty\)？ 若成立, 证明该结论; 若不成立, 给出具体的反例.
非书面作业
做完第3章全部习题.
第11周
书面作业
- [本题解答 ]设函数\(f:[a,b]\to [a,b]\), 并且存在\(q\in (0,1)\)使得
证明:
(1) 任取\(x_0\in [a,b]\), 作迭代数列\(x_n=f(x_{n-1})\), \(n\in \Bbb{N}_+\), 则\(\{x_n\}\)收敛于\([a,b]\)中某点\(x^*\); (提示: 先利用条件和数学归纳法考察\(|x_{n+1}-x_n|\)与\(|x_1-x_0|\)的关系, 再证明\(\{x_n\}\)满足Cauchy条件.)
(2) \(x^*\)是\(f\)在\([a,b]\)中唯一的不动点. (提示: 需要证明并利用\(f\)的连续性.)
非书面作业
做完4.1节习题和4.2节第1到第10题.
第12周
书面作业
-
[本题解答]按照以下步骤证明实数集\(\Bbb{R}\)是不可数集合，即\(\Bbb{R}\)中的全体元素不能表示成各项互异的数列\(a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\)的形式.
Step1. 设\(J\subset \Bbb{R}\)是一个闭区间, 长度记为\(|J|\), 其中\(|J|>0\). 证明: 对任意\(a\in \Bbb{R}\), 存在闭区间\(I\subset J\), 使得
\(|I|=\dfrac{1}{3}|J|\)并且\(a\not\in I\).Step2. 若\(\{a_n\}\)是一列各项互异的数列, 利用Step1的结论证明: 存在闭区间套\(I_1\supset I_2 \supset \cdots \supset I_n\supset\cdots\), 使得
$$a_1\not\in I_1,\quad a_2\not\in I_2,\quad \cdots,\quad a_n\not\in I_n,\quad\cdots.$$Step3. 利用反证法和Step2的结论证明: \(\Bbb{R}\)中的全体元素不能表示成各项互异的数列\(a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\)的形式.
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(数学写作规范) 翻译Jonathan M. Kane的Writing Proofs in Analysis前言(Preface).
非书面作业
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做完第4章剩余的全部习题.
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阅读Jonathan M. Kane的Writing Proofs in Analysis.
第13周
书面作业
-
[本题解答]设\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)是有界数列, 证明:
(1)
\[\varliminf_{n\to \infty} (a_n+b_n)\leq \varliminf_{n\to \infty} a_n + \varlimsup_{n\to \infty} b_n\leq \varlimsup_{n\to \infty}(a_n+b_n). \](2) 若\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)还是非负数列, 则
\[\varliminf_{n\to \infty} (a_nb_n)\leq \varliminf_{n\to \infty} a_n \cdot \varlimsup_{n\to \infty} b_n\leq \varlimsup_{n\to \infty}(a_nb_n). \]
非书面作业
- 做完第7章课后习题.
- 注意教学计划, 安排好数学分析的期末复习.
第14周
书面作业
- 利用导数的定义验证\(\arcsin x\)和\(\arccos x\)在点\(x_0=1\)是否左可导.
非书面作业
- 做完第5章前两节习题.
第15周
书面作业
- 设函数\(f\)在闭区间\([0,1]\)上连续, 在开区间\((0,1)\)上可导, 并且\(f(1)=1\), 证明: 存在\(\xi\in (0,1)\), 使得
(提示: 哪个函数求导之后是\(f(x)+x f'(x)-2x\)?)
非书面作业
- 做完6.1节习题Ex1-Ex5,Ex8-Ex13, 6.2节习题Ex1，Ex2.
第16周
书面作业
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[本题解答]设函数\(f\)在\((0,+\infty)\)上可导并且满足
\[\lim_{x\to +\infty} \left[ af(x)+xf'(x)\right]=b, \]其中常数\(a>0\). 求\(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\).
(提示: 与教材6.2节例8类似. 哪个函数求导之后会出现\(af(x)+xf'(x)\)?)
非书面作业
- 做完6.1节，6.2节和6.2节和6.3节全部习题.
