本科生学术论文出现的问题和注意事项
每次我都让指导的本科生仔细阅读以下内容，但是好像没有人当回事儿,课程论文也好毕业论文也好, 许多错误总是在一遍遍重复.
按我的理解, 课程论文和毕业论文, 本质上是对学生的一种学术写作训练: 与指导老师交流, 寻找和总结核心问题, 收集整理文献, 按照一定的规范组织语言和论证过程, 修改大框架和小细节, 把成果展示给他人. 不管是毕业后工作还是继续读研究生, 学术写作能力都是重要的工作能力.
在本人指导本科生课程论文和毕业论文写作的过程中, 发现了许多问题, 下面做一些总结.
论文写什么
由于老师的水平和课时、教材等因素的限制, 很多重要的内容, 例如张量、微分形式和微分流形、解析延拓、抽象测度, 即使教材中有这些, 在课堂中也不一定讲到. 数学专业的学生对Fourier变换的熟悉程度都赶不上通信专业的学生. 我们的很多数学专业本科生, 只关心课堂上讲的和考试要考的内容, 大学四年学下来, 只知道数分高代. 很多同学写的课程论文甚至毕业论文, 基本上就是照抄《高等代数中的典型问题与方法》《数学分析中的问题与方法》这些辅导书里的内容.
课程论文的内容, 应该是对课堂内容的补充, 而不是课堂内容的重复. 数学专业的课程论文, 尽量写一些课外的内容, 不要求创新性, 可以做摘抄, 可以是读书笔记, 但是要符合学术规范, 要有数学论文的样子.
毕业论文虽然有一定的创新性要求, 实际上很少有同学做到真正意义上的创新. 我对我的学生要求就是不抄袭, 明确论文的背景、核心问题和核心结论, 没有内容上的错误. 选题一定要高级一些, 你可以把毕业论文当作更深入的课程论文来写, 但是不能写数分高代的内容.
LaTeX or Word
论文给人的第一印象是排版. 很多同学大学四年连熟练使用Word都做不到, 不知道自动生成目录、标题级别、段首缩进、分段、多级列表, 更别说进行规范化的排版. 我对我指导的学生强制规定: 但凡涉及数学符号和数学公式的论文, 一律要用LaTeX来写. 即便是课程教学论方面的论文, 我也建议用LaTeX来书写.
- LaTeX排版系统的安装和配置可以参考链接.
标点符号
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数学论文和书籍一律用半角的英文标点符号. 根据英文输入习惯, 英文标点符号和前边的词之间不要加空格, 英文标点符号之后（特别是逗号、句号等)一般必须空格. 英文中没有顿号, 如果需要的话要使用中文顿号"、".
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在LaTeX中, 双引号的输入有特定的输入方式: 英文模式下使用键盘的Tab键上侧的按键连续输入两次, 然后键盘上的单引号键连续输入两次.
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许多情况下, 根据上下文, 数学公式后也要跟着标点符号. 例如
- 数学公式中使用括号时要灵活运用定界符\left 和\right.
语言
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语句要流畅, 合乎逻辑关系, 结构要严谨, 表达要简明, 语义要确切, 避免口语化. 例如,
矩阵理论是代数学的一个重要组成部分,矩阵是代数学的一个基本概念,是代数学的基础.其中正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵,从而正定矩阵具有一般矩阵所不具有的性质.
可改为
矩阵理论是代数学中的重要研究方向. 正定矩阵是一种特殊的矩阵，具有一般矩阵所不具有的性质. -
要灵活使用"因为"、"所以"、 "根据"、"于是"等连接词来将逻辑思路表示清楚.
结构内容
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摘要主要是说明研究工作的目的、方法、结果和结论. 数学专业的论文, 用简明的几句话说清楚论文的主要内容和结果即可, 不要有其他废话, 不需要按学校文件规定写200-300字. 关键字控制在3-5个, 中文关键词之间用空格，英文关键词之间用分号.
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正文中第1节必须是引言.
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引言可分为三部分来写. 第一部分概述背景, 第二部分详细阐述本文研究的核心内容, 第三部分阐述本文的主要结构.
- 范例1:
连通是分析学中的重要概念, 它给出了集合“连续不断”、“连成一片” 这些直观描述的严格定义. 分析学中的许多重要结论, 例如数学分析中的介值性定理, 连续函数零点存在定理、微分中值定理以及复变函数中的Cauchy 积分定理、解析函数的唯一性定理、调和函数的极值原理等, 都是建立在连通性的前提下的.
点集拓扑这门课中给出的连通的定义(见[1, 定义4.1.2]) 无疑是最本质的定义, Rudin的著名的数学分析教[2]中也采用了这种定义. 然而, 这种本质性的定义却不太符合我们日常经验中对“连通” 的直观印象. 在一些数学分析或者复变函数教材(见[3–5]) 中, 将“道路连通” 作为连通的定义, 这种定义符合我们的直观印象, 也能够为证明与连通性相关的一些结论带来方便. 在另外一些数学分析或者复变函数教材( [6, 7]) 中, 更是将“折线连通” 作为连通的定义, 所考虑的连通集限制为具有折线连通性的非空开集, 即区域.值得注意的是, 道路连通与折线连通并不等价, 平面上的一个圆周是道路连通的, 却不是折线联通的. 如何看待数学分析或者复变函数教材中连通的定义的区别? 在一种连通性的情形下得到的结论在其它连通性的情形下是否仍然成立? 这是大多数分析学的学习者经常要面对的问题.
本文旨在理清上述三种连通性的相互联系. 在第2节, 我们引入三种连通性的严格定义, 给出相应的具有代表性的结论或例子. 在第3节, 我们总结了三种连通性的相互关系: 折线连通一定道路连通, 反之不一定成立; 道路连通一定(拓扑) 连通, 反之不一定成立. 数学分析中的空间\(\Bbb{R}^n\)和复变函数中的空间\(\Bbb{C}\)都是典型的赋范线性空间, 空间的线性结构会对连通性产生作用. 我们证明了, 对于一般赋范线性空间中的非空开集, 三种连通
性是彼此等价的. 在第4节, 我们将折线连通情形下的介值性定理推广到了(拓扑) 连通和道路连通的情形.- 范例2:
在Lebesgue积分理论中, 若函数\(f\)在\([a, b]\)上Lebesgue可积, 则得到的变限积分可表示成两个单调增函数之差[1]:
\[\int_a^x f(t){\rm d}t=\int_a^x f^+(t){\rm d}t-\int_a^x f^-(t){\rm d}t,\quad x\in [a,b], \]我们自然地会想到把能表示成“两个单调增函数之差” 的这类函数进行特别研究, 由此便有了“有界变差函数” 这一概念. 从泛函分析的角度看, 单调函数类并不对线性运算封闭,无法构成线性空间, 而有界变差函数构成的函数空间却是无穷维线性空间. 有界变差函数既保留了单调函数的主要性质: 几乎处处可微且导函数Lebesgue可积, 又比单调函数更有广泛性. 有界变差函数与可求长曲线等价, 即曲线\(C : y = f(x), \ x \in [a, b]\) 可求长
当且仅当\(f\)是\([a, b]\)上的有界变差函函数, 这就表明有界变差函数与测度有一些天然的联系, 对这方面的系统研究最终成为几何测度论这一前沿分支, 这方面的研究结果在图像恢复等问题上具有重要应用[2].利用全变差我们可以定义范数, 由此得到一类赋范线性空间——有界变差函数空间. 本文中我们利用基本定义和性质, 证明了有界变差函数空间\(BV [a, b]\)是Banach 空间. 在教材[1] 的泛函分析部分, 给出了表明\(BV [a, b]\)空间与连续函数空间\(C[a, b]\)的共轭空间\(C[a, b]^*\)之间联系的一个重要结果, 即Riesz表示定理(定理4.1), 对于\(C[a, b]\)上的每一个连续线性泛函f, 都至少有一个\(g \in BV [a, b]\)与之对应. 不过, 这种对应并不是唯一的, 要得到唯一的对应, 需要对有界变差函数再做一些限制, 即标准化有界变差函数. 标准化有界变差函数空间\(BV_0[a, b]\)是\(BV [a, b]\)的一个子空间. 事实上, 完整的Riesz表示定理(定理4.2) 表明, 对于\(C[a, b]\)上的每一个连续线性泛函\(f\), 都存在唯一的\(g \in BV_0[a, b]\)与之对应, 特别地, \(BV_0[a, b]\)与\(C[a, b]^∗\)等距同构. 大多数泛函分析教材中, 并未给出该定理的完整证明, 少数教材(如[3])中给出的证明比较简略, 需要用到一些比较复杂的测度与积分理论的结论, 与之相比, 本文仅利用有界变差函数与Stieltjes积分的一些基本结论, 结合Hahn-Banach延拓定理, 给出了详细完整的证明.
本文在第2部分介绍了有界变差函数空间和规范化有界变差函数空间的预备知识, 在第3部分我们证明了有界变差函数空间\(BV [a, b]\)和规范化有界变差函数空间\(BV_0[a, b]\)是Banach空间, 在第4部分我们证明了\(BV_0[a, b]\)与\(C[a, b]^∗\)等距同构.
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章节标题维持在1-3级, 即一级标题\section, 二级标题\subsection, 三级标题\subsubsection. 最好能控制在1-2级. 不要频繁的分章节, 很多内容其实可以归总到同一节中.
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一定不要有数学内容上的错误.
定义: 设\(A\)是数域\(\mathbf{P}\)上一个\(n\)阶矩阵，假若对于数域\(\mathbf{P}\)中的一数\(\lambda_0\)，设有一个\(n\)维向量\(\xi\)，使得
\[A\xi = \lambda_0 \xi， \]那么我们就把\(\lambda_0\)这个数叫做\(A\)的一个特征值，而向量\(\xi\)就被我们称作\(A\)的属于特征值\(\lambda_0\)的一个特征向量.
应该改为
定义: 设\(A\)是数域\(\mathbf{P}\)上一个\(n\)阶矩阵，如果存在\(\lambda_0\in\mathbf{P}\)以及\(n\)维非零向量\(\xi\), 使得
\[A\xi = \lambda_0 \xi， \]则称\(\lambda_0\)是矩阵\(A\)的一个特征值，称向量\(\xi\)为矩阵\(A\)对应于特征值\(\lambda_0\)的一个特征向量.
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致谢不要写的太肉麻, 建议只写下面一句：
本文的写作过程中, 得到了李四老师的悉心指导与修改, 在此表示感谢. -
参考文献的条目要符合格式. 页码的规范形式是
开始页码-结束页码. 在必要的时候, 要把你引用的文献下载下来, 仔细核对起、止页码. 参考文献是书籍或者学位论文的话, 不要带页码.[1] 曹艳华, 刘建洲. 矩阵的m 次根的唯一性问题[J]. 湘潭大学自然科学学报, 2002, 24(1): 13-15.
[2] 程其襄, 张奠宙, 魏国强. 实变函数与泛函分析基础[M]. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2003. -
参考文献的条目排列顺序要对应正文中的引用顺序. 列出的参考文献都要在正文中被引用，否则不要出现. 最好要实质性的引用参考文献, 尽量避免凑数. 例如：
将势阱方法与Levine等人发展的凹性方法[1,2]相结合，L.E. Payne 和 D.H. Satinger 在[3]中给出了上述非线性波动方程初边值问题的解在有限时间内爆破的充分条件……这方面的相关工作还有[27-30]等.
文献1-3是实质性引用, 后面的[27-30]是非实质性引用.
数学教学论文
数学教学论文要围绕具体的数学教学来写，不能空泛地写一些理论概念内容。作为学位论文的数学教学论文，有固定的结构限制，基本上按照：1. 研究背景、目的、研究现状（文献综述）；2. 概念与理论； 3. 具体的教学设计与实践；4. 教学结果分析；5. 总结。具体可以参考知网上相关的硕士学位论文。本科阶段的的数学教学论文也要按照这个结构来写，当然在前两部分可以简略地少写一些，把主要篇幅放在后面3部分。
