2019-2020学年第一学期-泛函分析

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作业

注记随记

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课程信息

数学科学学院, 17级数学与应用数学(非师范)专业2班
地点：综合楼306
时间：1-18周，周四下午5-7节，3课时/周, 共计54课时.

教材：实变函数与泛函分析基础(第三版), 程其襄、张奠宙等 编, 高等教育出版社, 2010, ISBN: 9787040292183.
习题参考答案 点击下载

参考材料：
【1】泛函分析，胡适耕 编著, 高等教育出版社, 2001, ISBN: 9787040102956. (有配套的辅导书 《实变函数与泛函分析：定理·方法·问题》)
【2】实变函数与泛函分析, 郭大钧、黄春朝等 编, 山东大学出版社，2005， ISBN: 9787560729879.
【3】泛函分析讲义（上册）, 张恭庆、林源渠 编著, 北京大学出版社, 2001, ISBN: 9787040183030.
【4】实变函数论与泛函分析（下册·第二版修订本）, 夏道行、吴卓人等 编著, 高等教育出版社出版社, 2010, ISBN: 9787040272482.
【5】线性与非线性泛函分析及其应用（上册）, [法] Philippe G.Ciarlet 著, 秦铁虎、童裕孙 译, 高等教育出版社, 2017, ISBN: 9787040477481.
【6】Introduction to Functional Analysis, 2ed, reprint ed, Angus E. Taylor, R.E. Krieger Pub. Co, 1986, ISBN: 0898749514.
【7】泛函分析——理论和应用, Haim Brezis 著, 叶东、周风 译, 清华大学出版社, 2009, ISBN: 9787302167204. (英文影印版国内已出版 泛函分析、索伯列夫空间和偏微分方程)

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教学计划

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作业

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第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
第9周
第10周
第11周
第12周
第13周
第14周
第15周
第16周

第1周

1. 定义(等价距离)： 设集合\(X\)上有两种距离：\(d_1\), \(d_2\). 如果\(X\)中按距离\(d_1\)收敛的点列\(\{x_n\}\)都在距离\(d_2\)下收敛于同一点, 并且按距离\(d_2\)收敛的点列\(\{x_n\}\)都在距离\(d_1\)下收敛于同一点, 即

\[d_1(x_n,x)\to 0 \Longleftrightarrow d_2(x_n,x)\to 0, \]

则称距离\(d_1\)和\(d_2\)等价.

• (1) 设\(d(x,y)\)是集合\(X\)上的距离, 令

  \[\tilde{d}(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}. \]

  证明: \(\tilde{d}(x,y)\)也是\(X\)上的距离, 并且\(\tilde{d}\)与\(d\)等价.

• (2) 在\(\Bbb{R}^N\)中可定义两种距离：

  \[d_1(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^N \left|\xi_i-\eta_i\right|^2}, \]
  \[d_2(x,y)=\max_{1\leq i\leq N}\left|\xi_i-\eta_i\right|, \]

  其中\(x=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_N)\in \Bbb{R}^N,\) \(y=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_N)\in \Bbb{R}^N.\) 证明：\(d_1\)和\(d_2\)等价.

第2周

1. 设\(P_r[a,b]\)是定义在闭区间\([a,b]\)上的所有有理系数多项式函数的全体. 显然, \((P_r[a,b],d)\)是连续函数空间\((C[a,b],d)\)的距离子空间, 其中
   \[d(f,g)=\max_{t\in [a,b]}\left|f(t)-g(t)\right|,\quad \forall f,g\in C[a,b]. \]

证明: \(P_r[a,b]\)是\(C[a,b]\)的可数稠密子集, 从而\(C[a,b]\)可分.

2. 按以下步骤证明

   Riemann-Lebesgue引理: 设\(f\in L[a,b]\), 对应的Fourier系数为

   \[a_n=\int_a^b f(x)\sin nx {\rm d}x,\quad b_n=\int_a^b f(x)\cos nx {\rm d}x,\quad n\in \Bbb{N}, \]

   则\(a_n,\,b_n\to 0 \quad (n\to\infty)\).

   • Step1. 若\(f\)是\([a,b]\)上的简单函数(P80定义3), 证明上述结论成立.
   • Step2. 设\(S[a,b]\)是定义在闭区间\([a,b]\)上的简单函数的全体. 显然, \(S[a,b]\)是\(L[a,b]\)的距离子空间, 其中距离
     \[d(f,g)=\int_a^b |f(t)-g(t)|{\rm d}t,\quad \forall f,g\in L[a,b]. \]

   证明: \(S[a,b]\)是\(L[a,b]\)的稠密子集.

   • Step3. 利用稠密性, 证明Riemann-Lebesgue引理成立.

第3周

1. 设\((X,d)\)是度量空间, \(\{x_n\}\)是\((X,d)\)中的Cauchy点列, 证明: \(\{x_n\}\)收敛当且仅当\(\{x_n\}\)存在收敛子列.

2. 设\(f\)是度量空间\((X,d)\)到\(\Bbb{R}\)的连续映射, \(M\)是\(X\)中的紧集, 证明: 连续映射\(f\)在紧集\(M\)上能够取到最值, 即存在\(x_0,x_1\in M\)使得

\[f(x_0)=\min_{x\in M}f(x),\quad f(x_1)=\max_{x\in M}f(x). \]

3. 定义(Hölder连续函数): 设\(\alpha\in (0,1]\). 若\(f\in C[a,b]\)满足

\[[f]_\alpha=\sup_{x,y\in[a,b],\ x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}<+\infty, \]

则称\(f\)是\([a,b]\)上具有指数\(\alpha\)的Hölder连续函数. \(C[a,b]\)中所有具有指数\(\alpha\)的Hölder连续函数的全体记为\(C^{0,\alpha}[a,b]\).

(1) 令
$$\bar{d}(f,g)=\max_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|+[f-g]_{\alpha}, \quad\forall f,g\in C^{0,\alpha}[a,b], $$
证明$(C^{0,\alpha}[a,b],\bar{d})$是一个度量空间.

(2) 证明$(C^{0,\alpha}[a,b],\bar{d})$是完备的度量空间.

(3) 利用Ascoli-Arezela定理证明, 若$M$是$(C^{0,\alpha}[a,b],\bar{d})$中的有界集, 则$M$是$(C[a,b],d)$中的列紧集, 其中$d$是最大值距离, 即
$$d(f,g)=\max_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|,\quad \forall f,g\in C[a,b].$$

第4周

1. 设\(X\)是完备的度量空间, \(T\)是\(X\)到\(X\)中的映射, 如果存在正整数\(m\in \Bbb{N}_+\)以及常数 \(\alpha \in [0,1)\)使得对所有的\(x,y\in X\), 都有

\[d(T^m x, T^m y)\leq \alpha \,d(x,y), \]

其中\(T^m\)表示映射\(T\)作用\(m\)次, 则\(T\)在\(X\)中有且只有一个不动点\(x^*\), 特别地, 迭代点列

\[x_0,\ x_1=Tx_0,\cdots,x_n=Tx_{n-1},\cdots, \]

在\((X,d)\)中收敛于不动点\(x^*\).

2. Volterra型线性积分方程解的存在唯一性问题. 设\(f\in C[a,b]\), 二元函数\(k(t,s)\)在\([a,b]\times[a,b]\)上连续. 利用上题的结论证明, 对任意\(\lambda\in\Bbb{R}\), 积分方程

\[\phi(t)-\lambda \int_a^t k(t,s)\phi(s)ds=f(t),\quad t\in [a,b] \]

总存在唯一的连续函数解\(\phi\in C[a,b]\).

第5周

1. 设\((X,\|\cdot\|)\)是一个赋范空间, \(x_0\in X\), \(\epsilon>0\). 令

   \[\begin{array}{rcl} U(x_0,\epsilon)&=&\{x\ |\ \|x-x_0\|<\epsilon \},\\ S(x_0,\epsilon)&=&\{x\ |\ \|x-x_0\|\leq\epsilon \}, \end{array}\]

   则

   \[\overline{U(x_0,\epsilon)}=S(x_0,\epsilon). \]

2. (内插不等式) 设\(1\leq s\leq r\leq t< \infty\), \(u\in L^s(\Omega)\cap L^t(\Omega)\), 利用Hölder不等式证明\(u\in L^r(\Omega)\)并且

   \[\|u\|_r\leq \|u\|_s^\theta \|u\|_t^{1-\theta}, \]

   其中\(\theta\in [0,1]\)满足

   \[\frac{1}{r}=\frac{\theta}{s}+\frac{1-\theta}{t}. \]

3. (\(L^p(\Omega)\)与\(L^\infty(\Omega)\)的联系) 设\(\Omega\)是\(\Bbb{R}^n\)中的可测集并且\(m(\Omega)<+\infty\), 证明

   (1) 若\(p,q\)满足\(1\leq p<q\leq \infty\), 则

   \[L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega), \]

   并且存在与\(m(\Omega),p\)和\(q\)相关的正常数\(C\)使得

   \[\|f\|_p\leq C\|f\|_q,\quad \forall f\in L^q(\Omega). \]

   (2) 对任意\(f\in L^\infty(\Omega)\), 都有

   \[\lim_{p\to+\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty. \]

4. (Brezis-Lieb引理) 设\(\Omega\)是\(\Bbb{R}^n\)中的可测集, \(1\leq p<\infty\). 若\(L^p(\Omega)\)中的函数列\(\{u_n\}\)满足
   (1). \(\{u_n\}\)是\(L^p(\Omega)\)中的有界点列;
   (2). \(u_n(x)\to u(x)\ a.e. x\in \Omega\quad (n\to \infty)\).
   证明\(u\in L^p(\Omega)\)并且

   \[\lim_{n\to \infty}\left(\|u_n\|_p^p-\|u_n-u\|_p^p \right)=\|u\|_p^p. \]

第6周

欢度国庆！

第7周

1. 设\(\Omega\)是\(\Bbb{R}^n\)中的一个可测集, \(1\leq p<\infty\). 若\(\{f_n\}\subset L^p(\Omega)\), \(f\in L^p(\Omega)\)并且

   \[\|f_n-f\|_p\to 0\quad (n\to\infty), \]

   则函数列\(\{f_n\}\)在\(\Omega\)上依测度收敛于\(f\).

2. 证明

   Riesz引理： 设\((X,\|\cdot\|)\)是一个赋范线性空间, \(X_0\)是\(X\)的一个真闭子空间, 则对任意\(\varepsilon\in (0,1)\), 存在\(y\in X\)使得
   \(\|y\|=1\)并且\(\forall x\in X_0\), 有\(\|y-x\|> \varepsilon\).

3. 定义(严格凸): 设\((X,\|\cdot\|)\)是一个赋范线性空间. 如果对任意

   \[x,y\in S=\{x\in X\ |\ \|x\|=1\},\quad\textrm{并且}\quad x\neq y, \]

   都有

   \[\|\alpha x+\beta y\|<1\quad (\forall \alpha,\beta>0,\ \alpha +\beta=1) \]

   则称\((X,\|\cdot\|)\)是严格凸的赋范线性空间.

   设\((X,\|\cdot\|)\)是严格凸的赋范线性空间, \(M=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\subset X\), 则对任意\(x\in X\), 证明存在唯一的\(y_0\in span M\), 使得

   \[\|x-y_0\|=\min_{y\in span M}\|x-y\|. \]

   (我们在课上已经证明了最佳逼近元\(y_0\)的存在性. 这里只需要证明, 在严格凸的条件下, 最佳逼近元是唯一的.)

第8周

1. 设\((X,\|\cdot\|_1)\)是\(n\)维赋范线性空间, \((Y,\|\cdot\|_2)\)是\(m\)维赋范线性空间，数域均为实数域\(\Bbb{R}\). 证明\(X\)到\(Y\)上的任何线性算子都是有界线性算子.

2. 设\(D=[a,b]\times [a,b]\subset \Bbb{R}^2\)是一个正方形区域, 三元函数\(k(x,y,u)\)在\(D\times \Bbb{R}^1\)上连续. 令

   \[(K\phi)(x)=\int_a^b k\left(x,y,\phi(y)\right) dy,\quad \phi\in C[a,b]. \]

证明\(K\)是从\(C[a,b]\)映入\(C[a,b]\)的全连续算子.
(提示: 证明紧性需要用到Ascoli-Arezela定理.)

3. 设\(X\)是一个Banach代数, 则对任意\(x\in X\), 极限
   \[\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\|x^n\|} \]

存在, 并且等于\(\inf\limits_{n\geq 1}\sqrt[n]{\|x^n\|}\).

第9周

1. (连续线性算子的保范延拓) 设\(X\)是赋范线性空间, \(Y\)是Banach空间, \(D\)是\(X\)的线性子空间, 算子

   \[T:D\to Y \]

   是连续线性算子. 证明\(T\)能唯一地延拓到\(\overline{D}\)上成为连续线性算子

   \[T_1 : \overline{D} \to Y, \]

   使得\(\|T_1\|=\|T\|\)并且

   \[T_1 x= Tx, \quad \forall x\in D. \]

2. 设\(k\in C[a,b]\). 定义\(C[a,b]\)上的线性泛函

   \[f(x)=\int_a^b k(t)x(t) {\rm d} t,\quad \forall x\in C[a,b]. \]

   证明\(f\)是\(C[a,b]\)上的有界线性泛函, 并求出泛函\(f\)的范数\(\|f\|\).

3. 定义: (Schauder基) 设\(X\)是一个赋范线性空间, \(\{e_k\ |\ k\in \Bbb{N}_+\}\)是\(X\)中的可数向量列. 如果对任意\(x\in X\), 存在唯一的一列数\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k,\cdots\in \Bbb{F}\), 使得

   \[x=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k=\sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \]

则称\(\{e_k\}\)是\(X\)的一组Schauder基. 如果还有\(\|e_k\|=1\) (\(\forall k\in \Bbb{N}_+\)), 则称\(\{e_k\}\)是\(X\)的一组标准Schauder基.

设$1\leq p\leq \infty$. 对任意$k\in \Bbb{N}_+$, 取
$$e_k=(0,\cdots,0, \overset{k}{1},0,\cdots)\in l^p,$$
证明$\{e_k\}$是$l^p$的一组标准Schauder基.

第10周

1. 设\(X\)是一个内积空间, \(M\)是\(X\)中的闭凸子集, \(x\in X\). 证明: \(y_0\in M\)是\(x\)在\(M\)中的最佳逼近元, 即

   \[\|x-y_0\|=d(x,M), \]

   当且仅当

   \[Re \langle x-y_0, y_0-y \rangle\geq 0, \forall y\in M. \]

2. 设\(X\)是一个内积空间, \(x_0\in X\), 实数\(r>0\). 令

   \[M=\{x\in X\ |\ \|x-x_0\|\leq r\}. \]

   证明:

   (1) \(M\)是\(X\)中的闭凸子集;

   (2) 对任意\(x\in X\), 令

   \[y=\left\{\begin{array}{ll} x_0+r\frac{x-x_0}{\|x-x_0\|},&\quad x\not\in M,\\ x,&\quad x\in M. \end{array} \right.\]

    则$y$是$x$在$M$中的最佳逼近元.
   

第11周

证明:

(Riesz-Fischer定理) 设\(\{e_i\}\)是\(L^2(\Omega)\)中的规范正交系, 则对任意\(x=(\xi_1,\xi_2,\cdots)\in l^2\), 存在\(f\in L^2(\Omega)\), 使得\(\|f\|_2=\|x\|_2\)并且

$$\langle f,e_i \rangle=\xi_i,\quad i=1,2,\cdots.$$

第12周

设\(e_0(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(e_1(t)=\cos t\), \(e_2(t)=\sin t\), \(e_3(t)=\cos 2t\), \(e_4(t)=\sin 2t\), \(\cdots\), \(e_{2n-1}(t)=\cos nt\), \(e_{2n}(t)=\sin nt\), \(\cdots\).
令\(M=\{e_i\}_{i=0}^\infty\), 我们已经知道, \(M\)是Hilbert空间

\[L^2[-\pi,\pi],\quad \langle f, g\rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\overline{g(t)} {\rm d} t, \ f,g\in L^2[-\pi,\pi] \]

中的规范正交系.

按以下步骤证明, 三角函数系\(M\)是\(L^2[a,b]\)中的完全规范正交系.

Step1. 证明

(Weierstrauss三角逼近定理) 设\(f\in C[-\pi,\pi]\), 并且\(f(-\pi)=f(\pi)\), 则对任意\(\varepsilon>0\), 存在三角多项式

\[T(t)=a_0+\sum_{k=1}^m \left(a_k \cos kt+b_k \sin kt \right), \quad t\in [-\pi,\pi], \]

使得

\[\max_{t\in [-\pi,\pi]} \left|f(t)-T(x)\right|<\varepsilon. \]

Step2. 设\(T\)是\([-\pi,\pi]\)上的一个三角多项式, 则\(T\in C[-\pi,\pi]\), 同时也有\(T\in L^2[-\pi,\pi]\). 证明: \(T\)关于三角函数系\(M\)满足Parseval等式, 即

\[\|T\|^2=\sum_{e\in M}|\langle T,e \rangle |^2. \]

(提示：根据三角函数系的两两正交性, 上述等式右边的级数其实是一个有限和. 计算三角多项式\(T\)的范数时也要利用三角函数系的两两正交性.)

Step3. 利用Steklov定理(教材P255推论2), 证明\(M\)是\(L^2[a,b]\)中的完全规范正交系.

第13周

(内积空间上算子的范数) 设\(X\)为复内积空间, \(A\in {\rm \mathbf{B}}(X\to X)\), 证明:

(1) $$|A|=\sup_{\substack{x,y\in X,\x\neq 0,\ y\neq 0}}\frac{\left|\langle Ax,y\rangle \right|}{|x|\cdot |y|};$$

(2) 若\(A\)还是自伴算子, 即
$$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay \rangle,\quad \forall x,y\in X,$$
则
$$|A|=\sup_{\substack{x\in X,\x\neq 0}}\frac{\left|\langle Ax,x\rangle \right|}{|x|^2}.$$

第14周

利用Hahn-Banach定理的推论3(即课后习题第2题)证明以下定理.

定理: 设\(X\)是赋范线性空间. 若\(X\)的共轭空间\(X'\)可分, 则\(X\)自身也可分.

第15周

证明

Banach-Steinhaus定理: 设\(X\)是Banach空间, \(Y\)是赋范线性空间, \(M\)是空间\(X\)的一个稠密子集, \(\{T_n\}\)是\(X\)到\(Y\)的一列有界线性算子, \(T\in B(X\to Y)\),则

\[\lim_{n\to \infty} T_nx =Tx,\quad \forall x\in X \]

的充要条件是
(i) 算子列\(\{T_n\}\)在空间\(B(X\to Y)\)中有界;
(ii) 对任意\(x\in M\), 有\(\lim\limits_{n\to \infty} T_nx =Tx\).

第16周

1. 设\(X\)为Banach空间, \(X'\)是\(X\)的共轭空间. 在\(X\)中, 点列\(\{x_n\}\)弱收敛于\(x\); 在\(X'\)中, 泛函列\(\{f_m\}\)强收敛于\(f\)，证明

   \[f_m(x_n)\to f(x)\quad (m,n\to \infty). \]

2. 设\(H\)是Hilbert空间, 证明: 在\(H\)中\(x_n\to x\)的充分必要条件是

   \[\|x_n\|\to \|x\|\quad \textrm{并且} \quad x_n \rightharpoonup x. \]

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注记随记

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