数学科学学院, 17级数学与应用数学(非师范)专业2班
地点：综合楼306
时间：1-18周，周四下午5-7节，3课时/周, 共计54课时.

教材：实变函数与泛函分析基础(第三版), 程其襄、张奠宙等编, 高等教育出版社, 2010, ISBN: 9787040292183.
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参考材料：
【1】泛函分析，胡适耕编著, 高等教育出版社, 2001, ISBN: 9787040102956. (有配套的辅导书《实变函数与泛函分析：定理·方法·问题》)
【2】实变函数与泛函分析, 郭大钧、黄春朝等编, 山东大学出版社，2005， ISBN: 9787560729879.
【3】泛函分析讲义（上册）, 张恭庆、林源渠编著, 北京大学出版社, 2001, ISBN: 9787040183030.
【4】实变函数论与泛函分析（下册·第二版修订本）, 夏道行、吴卓人等编著, 高等教育出版社出版社, 2010, ISBN: 9787040272482.
【5】线性与非线性泛函分析及其应用（上册）, [法] Philippe G.Ciarlet 著, 秦铁虎、童裕孙译, 高等教育出版社, 2017, ISBN: 9787040477481.
【6】Introduction to Functional Analysis, 2ed, reprint ed, Angus E. Taylor, R.E. Krieger Pub. Co, 1986, ISBN: 0898749514.
【7】泛函分析——理论和应用, Haim Brezis 著, 叶东、周风译, 清华大学出版社, 2009, ISBN: 9787302167204. (英文影印版国内已出版泛函分析、索伯列夫空间和偏微分方程)

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作业

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第1周
 第2周
 第3周
 第4周
 第5周
 第6周
 第7周
 第8周
 第9周
 第10周
 第11周
 第12周
 第13周
 第14周
 第15周
 第16周

第1周

定义(等价距离)：设集合$X$上有两种距离：$d_1$, $d_2$. 如果$X$中按距离$d_1$收敛的点列$\{x_n\}$都在距离$d_2$下收敛于同一点, 并且按距离$d_2$收敛的点列$\{x_n\}$都在距离$d_1$下收敛于同一点, 即

\[d_1(x_n,x)\to 0 \Longleftrightarrow d_2(x_n,x)\to 0, \]

则称距离$d_1$和$d_2$等价.

(1) 设$d(x,y)$是集合$X$上的距离, 令

\[\tilde{d}(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}. \]
证明: $\tilde{d}(x,y)$也是$X$上的距离, 并且$\tilde{d}$与$d$等价.
(2) 在$\Bbb{R}^N$中可定义两种距离：

\[d_1(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^N \left|\xi_i-\eta_i\right|^2}, \]
\[d_2(x,y)=\max_{1\leq i\leq N}\left|\xi_i-\eta_i\right|, \]
其中$x=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_N)\in \Bbb{R}^N,$ $y=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_N)\in \Bbb{R}^N.$ 证明：$d_1$和$d_2$等价.

第2周

设$P_r[a,b]$是定义在闭区间$[a,b]$上的所有有理系数多项式函数的全体. 显然, $(P_r[a,b],d)$是连续函数空间$(C[a,b],d)$的距离子空间, 其中
\[d(f,g)=\max_{t\in [a,b]}\left|f(t)-g(t)\right|,\quad \forall f,g\in C[a,b]. \]

证明: $P_r[a,b]$是$C[a,b]$的可数稠密子集, 从而$C[a,b]$可分.

按以下步骤证明

Riemann-Lebesgue引理: 设$f\in L[a,b]$, 对应的Fourier系数为

\[a_n=\int_a^b f(x)\sin nx {\rm d}x,\quad b_n=\int_a^b f(x)\cos nx {\rm d}x,\quad n\in \Bbb{N}, \]
则$a_n,\,b_n\to 0 \quad (n\to\infty)$.
- Step1. 若$f$是$[a,b]$上的简单函数(P80定义3), 证明上述结论成立.
- Step2. 设$S[a,b]$是定义在闭区间$[a,b]$上的简单函数的全体. 显然, $S[a,b]$是$L[a,b]$的距离子空间, 其中距离
  \[d(f,g)=\int_a^b |f(t)-g(t)|{\rm d}t,\quad \forall f,g\in L[a,b]. \]
证明: $S[a,b]$是$L[a,b]$的稠密子集.
- Step3. 利用稠密性, 证明Riemann-Lebesgue引理成立.

第3周

设$(X,d)$是度量空间, $\{x_n\}$是$(X,d)$中的Cauchy点列, 证明: $\{x_n\}$收敛当且仅当$\{x_n\}$存在收敛子列.
设$f$是度量空间$(X,d)$到$\Bbb{R}$的连续映射, $M$是$X$中的紧集, 证明: 连续映射$f$在紧集$M$上能够取到最值, 即存在$x_0,x_1\in M$使得

\[f(x_0)=\min_{x\in M}f(x),\quad f(x_1)=\max_{x\in M}f(x). \]

定义(Hölder连续函数): 设$\alpha\in (0,1]$. 若$f\in C[a,b]$满足

\[[f]_\alpha=\sup_{x,y\in[a,b],\ x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}<+\infty, \]

则称$f$是$[a,b]$上具有指数$\alpha$的Hölder连续函数. $C[a,b]$中所有具有指数$\alpha$的Hölder连续函数的全体记为$C^{0,\alpha}[a,b]$.

(1) 令
$$\bar{d}(f,g)=\max_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|+[f-g]_{\alpha}, \quad\forall f,g\in C^{0,\alpha}[a,b], $$
证明$(C^{0,\alpha}[a,b],\bar{d})$是一个度量空间.

(2) 证明$(C^{0,\alpha}[a,b],\bar{d})$是完备的度量空间.

(3) 利用Ascoli-Arezela定理证明, 若$M$是$(C^{0,\alpha}[a,b],\bar{d})$中的有界集, 则$M$是$(C[a,b],d)$中的列紧集, 其中$d$是最大值距离, 即
$$d(f,g)=\max_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|,\quad \forall f,g\in C[a,b].$$

第4周

设$X$是完备的度量空间, $T$是$X$到$X$中的映射, 如果存在正整数$m\in \Bbb{N}_+$以及常数 $\alpha \in [0,1)$使得对所有的$x,y\in X$, 都有

\[d(T^m x, T^m y)\leq \alpha \,d(x,y), \]

其中$T^m$表示映射$T$作用$m$次, 则$T$在$X$中有且只有一个不动点$x^*$, 特别地, 迭代点列

\[x_0,\ x_1=Tx_0,\cdots,x_n=Tx_{n-1},\cdots, \]

在$(X,d)$中收敛于不动点$x^*$.

Volterra型线性积分方程解的存在唯一性问题. 设$f\in C[a,b]$, 二元函数$k(t,s)$在$[a,b]\times[a,b]$上连续. 利用上题的结论证明, 对任意$\lambda\in\Bbb{R}$, 积分方程

\[\phi(t)-\lambda \int_a^t k(t,s)\phi(s)ds=f(t),\quad t\in [a,b] \]

总存在唯一的连续函数解$\phi\in C[a,b]$.

第5周

设$(X,\|\cdot\|)$是一个赋范空间, $x_0\in X$, $\epsilon>0$. 令

\[\begin{array}{rcl} U(x_0,\epsilon)&=&\{x\ |\ \|x-x_0\|<\epsilon \},\\ S(x_0,\epsilon)&=&\{x\ |\ \|x-x_0\|\leq\epsilon \}, \end{array}\]
则

\[\overline{U(x_0,\epsilon)}=S(x_0,\epsilon). \]
(内插不等式) 设$1\leq s\leq r\leq t< \infty$, $u\in L^s(\Omega)\cap L^t(\Omega)$, 利用Hölder不等式证明$u\in L^r(\Omega)$并且

\[\|u\|_r\leq \|u\|_s^\theta \|u\|_t^{1-\theta}, \]
其中$\theta\in [0,1]$满足

\[\frac{1}{r}=\frac{\theta}{s}+\frac{1-\theta}{t}. \]
($L^p(\Omega)$与$L^\infty(\Omega)$的联系) 设$\Omega$是$\Bbb{R}^n$中的可测集并且$m(\Omega)<+\infty$, 证明

(1) 若$p,q$满足$1\leq p<q\leq \infty$, 则

\[L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega), \]
并且存在与$m(\Omega),p$和$q$相关的正常数$C$使得

\[\|f\|_p\leq C\|f\|_q,\quad \forall f\in L^q(\Omega). \]
(2) 对任意$f\in L^\infty(\Omega)$, 都有

\[\lim_{p\to+\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty. \]
(Brezis-Lieb引理) 设$\Omega$是$\Bbb{R}^n$中的可测集, $1\leq p<\infty$. 若$L^p(\Omega)$中的函数列$\{u_n\}$满足
(1). $\{u_n\}$是$L^p(\Omega)$中的有界点列;
(2). $u_n(x)\to u(x)\ a.e. x\in \Omega\quad (n\to \infty)$.
证明$u\in L^p(\Omega)$并且

\[\lim_{n\to \infty}\left(\|u_n\|_p^p-\|u_n-u\|_p^p \right)=\|u\|_p^p. \]

第6周

欢度国庆！

第7周

设$\Omega$是$\Bbb{R}^n$中的一个可测集, $1\leq p<\infty$. 若$\{f_n\}\subset L^p(\Omega)$, $f\in L^p(\Omega)$并且

\[\|f_n-f\|_p\to 0\quad (n\to\infty), \]
则函数列$\{f_n\}$在$\Omega$上依测度收敛于$f$.
证明

Riesz引理： 设$(X,\|\cdot\|)$是一个赋范线性空间, $X_0$是$X$的一个真闭子空间, 则对任意$\varepsilon\in (0,1)$, 存在$y\in X$使得
$\|y\|=1$并且$\forall x\in X_0$, 有$\|y-x\|> \varepsilon$.
定义(严格凸): 设$(X,\|\cdot\|)$是一个赋范线性空间. 如果对任意

\[x,y\in S=\{x\in X\ |\ \|x\|=1\},\quad\textrm{并且}\quad x\neq y, \]
都有

\[\|\alpha x+\beta y\|<1\quad (\forall \alpha,\beta>0,\ \alpha +\beta=1) \]
则称$(X,\|\cdot\|)$是严格凸的赋范线性空间.

设$(X,\|\cdot\|)$是严格凸的赋范线性空间, $M=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\subset X$, 则对任意$x\in X$, 证明存在唯一的$y_0\in span M$, 使得

\[\|x-y_0\|=\min_{y\in span M}\|x-y\|. \]
(我们在课上已经证明了最佳逼近元$y_0$的存在性. 这里只需要证明, 在严格凸的条件下, 最佳逼近元是唯一的.)

第8周

设$(X,\|\cdot\|_1)$是$n$维赋范线性空间, $(Y,\|\cdot\|_2)$是$m$维赋范线性空间，数域均为实数域$\Bbb{R}$. 证明$X$到$Y$上的任何线性算子都是有界线性算子.
设$D=[a,b]\times [a,b]\subset \Bbb{R}^2$是一个正方形区域, 三元函数$k(x,y,u)$在$D\times \Bbb{R}^1$上连续. 令

\[(K\phi)(x)=\int_a^b k\left(x,y,\phi(y)\right) dy,\quad \phi\in C[a,b]. \]

证明$K$是从$C[a,b]$映入$C[a,b]$的全连续算子.
(提示: 证明紧性需要用到Ascoli-Arezela定理.)

设$X$是一个Banach代数, 则对任意$x\in X$, 极限
\[\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\|x^n\|} \]

存在, 并且等于$\inf\limits_{n\geq 1}\sqrt[n]{\|x^n\|}$.

第9周

(连续线性算子的保范延拓) 设$X$是赋范线性空间, $Y$是Banach空间, $D$是$X$的线性子空间, 算子

\[T:D\to Y \]
是连续线性算子. 证明$T$能唯一地延拓到$\overline{D}$上成为连续线性算子

\[T_1 : \overline{D} \to Y, \]
使得$\|T_1\|=\|T\|$并且

\[T_1 x= Tx, \quad \forall x\in D. \]
设$k\in C[a,b]$. 定义$C[a,b]$上的线性泛函

\[f(x)=\int_a^b k(t)x(t) {\rm d} t,\quad \forall x\in C[a,b]. \]
证明$f$是$C[a,b]$上的有界线性泛函, 并求出泛函$f$的范数$\|f\|$.
定义: (Schauder基) 设$X$是一个赋范线性空间, $\{e_k\ |\ k\in \Bbb{N}_+\}$是$X$中的可数向量列. 如果对任意$x\in X$, 存在唯一的一列数$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k,\cdots\in \Bbb{F}$, 使得

\[x=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k=\sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \]

则称$\{e_k\}$是$X$的一组Schauder基. 如果还有$\|e_k\|=1$ ($\forall k\in \Bbb{N}_+$), 则称$\{e_k\}$是$X$的一组标准Schauder基.

设$1\leq p\leq \infty$. 对任意$k\in \Bbb{N}_+$, 取
$$e_k=(0,\cdots,0, \overset{k}{1},0,\cdots)\in l^p,$$
证明$\{e_k\}$是$l^p$的一组标准Schauder基.

第10周

设$X$是一个内积空间, $M$是$X$中的闭凸子集, $x\in X$. 证明: $y_0\in M$是$x$在$M$中的最佳逼近元, 即

\[\|x-y_0\|=d(x,M), \]
当且仅当

\[Re \langle x-y_0, y_0-y \rangle\geq 0, \forall y\in M. \]
设$X$是一个内积空间, $x_0\in X$, 实数$r>0$. 令

\[M=\{x\in X\ |\ \|x-x_0\|\leq r\}. \]
证明:

(1) $M$是$X$中的闭凸子集;

(2) 对任意$x\in X$, 令

\[y=\left\{\begin{array}{ll} x_0+r\frac{x-x_0}{\|x-x_0\|},&\quad x\not\in M,\\ x,&\quad x\in M. \end{array} \right.\]
```
 则$y$是$x$在$M$中的最佳逼近元.
```

第11周

证明:

(Riesz-Fischer定理) 设$\{e_i\}$是$L^2(\Omega)$中的规范正交系, 则对任意$x=(\xi_1,\xi_2,\cdots)\in l^2$, 存在$f\in L^2(\Omega)$, 使得$\|f\|_2=\|x\|_2$并且

$$\langle f,e_i \rangle=\xi_i,\quad i=1,2,\cdots.$$

第12周

设$e_0(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}$, $e_1(t)=\cos t$, $e_2(t)=\sin t$, $e_3(t)=\cos 2t$, $e_4(t)=\sin 2t$, $\cdots$, $e_{2n-1}(t)=\cos nt$, $e_{2n}(t)=\sin nt$, $\cdots$.
令$M=\{e_i\}_{i=0}^\infty$, 我们已经知道, $M$是Hilbert空间

\[L^2[-\pi,\pi],\quad \langle f, g\rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\overline{g(t)} {\rm d} t, \ f,g\in L^2[-\pi,\pi] \]

中的规范正交系.

按以下步骤证明, 三角函数系$M$是$L^2[a,b]$中的完全规范正交系.

Step1. 证明

(Weierstrauss三角逼近定理) 设$f\in C[-\pi,\pi]$, 并且$f(-\pi)=f(\pi)$, 则对任意$\varepsilon>0$, 存在三角多项式

\[T(t)=a_0+\sum_{k=1}^m \left(a_k \cos kt+b_k \sin kt \right), \quad t\in [-\pi,\pi], \]

使得

\[\max_{t\in [-\pi,\pi]} \left|f(t)-T(x)\right|<\varepsilon. \]

Step2. 设$T$是$[-\pi,\pi]$上的一个三角多项式, 则$T\in C[-\pi,\pi]$, 同时也有$T\in L^2[-\pi,\pi]$. 证明: $T$关于三角函数系$M$满足Parseval等式, 即

\[\|T\|^2=\sum_{e\in M}|\langle T,e \rangle |^2. \]

(提示：根据三角函数系的两两正交性, 上述等式右边的级数其实是一个有限和. 计算三角多项式$T$的范数时也要利用三角函数系的两两正交性.)

Step3. 利用Steklov定理(教材P255推论2), 证明$M$是$L^2[a,b]$中的完全规范正交系.

第13周

(内积空间上算子的范数) 设$X$为复内积空间, $A\in {\rm \mathbf{B}}(X\to X)$, 证明:

(1) $$|A|=\sup_{\substack{x,y\in X,\x\neq 0,\ y\neq 0}}\frac{\left|\langle Ax,y\rangle \right|}{|x|\cdot |y|};$$

(2) 若$A$还是自伴算子, 即
$$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay \rangle,\quad \forall x,y\in X,$$
则
$$|A|=\sup_{\substack{x\in X,\x\neq 0}}\frac{\left|\langle Ax,x\rangle \right|}{|x|^2}.$$

第14周

利用Hahn-Banach定理的推论3(即课后习题第2题)证明以下定理.

定理: 设$X$是赋范线性空间. 若$X$的共轭空间$X'$可分, 则$X$自身也可分.

第15周

证明

Banach-Steinhaus定理: 设$X$是Banach空间, $Y$是赋范线性空间, $M$是空间$X$的一个稠密子集, $\{T_n\}$是$X$到$Y$的一列有界线性算子, $T\in B(X\to Y)$,则

\[\lim_{n\to \infty} T_nx =Tx,\quad \forall x\in X \]

的充要条件是
(i) 算子列$\{T_n\}$在空间$B(X\to Y)$中有界;
(ii) 对任意$x\in M$, 有$\lim\limits_{n\to \infty} T_nx =Tx$.

第16周

设$X$为Banach空间, $X'$是$X$的共轭空间. 在$X$中, 点列$\{x_n\}$弱收敛于$x$; 在$X'$中, 泛函列$\{f_m\}$强收敛于$f$，证明

\[f_m(x_n)\to f(x)\quad (m,n\to \infty). \]
设$H$是Hilbert空间, 证明: 在$H$中$x_n\to x$的充分必要条件是

\[\|x_n\|\to \|x\|\quad \textrm{并且} \quad x_n \rightharpoonup x. \]

注记随记

posted @ 2019-08-27 10:48 SunFengLong 阅读(6774) 评论(0) 编辑收藏举报

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2019-2020学年第一学期-泛函分析

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