MST最小生成树及Prim普鲁姆算法
MST在前面学习了Kruskal算法，还有一种算法叫做Prim的。这两者的区别是Prim算法适合稠密图，比如说鸟巢这种几乎所有点都有相连的图。其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边的数目无关；而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)，跟边的数目有关，适合稀疏图。
prim算法
基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V），TE＝{ 空集 }开始。重复执行下列操作：
1.在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止；接下里以 v0为边的起点，继续寻找权值最小的边并入集合TE中，依次往复；
2.最后，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心：始终保持TE中的边集构成一棵生成树，也就是它与Kruskal算法的主要区别是，Prim是一直保持一种串联的状态而不遵从整体的贪心算法。其实初始点uo的选择可以随意，一般做题题目条件会给出或者取最小的权值边。
其实现的代码如下：
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h>
#define infinity 1000000 #define max_vertexes 6
typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes];
void prim(Graph G,int vcount,int father[])
{
int i,j,k;
int lowcost[max_vertexes];
int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];
int min;
for (i=0;i<vcount;i++)
{
/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */
lowcost[i]=G[0][i];
/* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */
closeset[i]=0;
used[i]=0;
father[i]=-1;
}
used[0]=1; /*第一个节点是在s集合里的*/
/* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */
for (i=1;i<=vcount-1;i++)
{
j=0;
min = infinity;
/* 找满足条件的最小权值边的节点k */
for (k=1;k<vcount;k++)
/* 边权值较小且不在生成树中 */
if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min))
{
min = lowcost[k];
j=k;
}
father[j]=closeset[j];
printf("%d %d\n",j+1,closeset[j]+1);//打印边
used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中
for (k=1;k<vcount;k++)
/* 发现更小的权值 */
if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k]))
{
lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/
closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/
}
}
}
int main()
{
FILE *fr;
int i,j,weight;
Graph G;
int fatheer[max_vertexes];
for(i=0; i<max_vertexes; i++)
for(j=0; j<max_vertexes; j++)
G[i][j] = infinity;
fr = fopen("prim.txt","r");
if(!fr)
{
printf("fopen failed\n");
exit(1);
}
while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF)
{
G[i-1][j-1] = weight;
G[j-1][i-1] = weight;
}
prim(G,max_vertexes,fatheer);
return 0;
}
邻接矩阵的形式进行存储的实现：
#include <stdio.h>
#define n 6
#define MaxNum 10000 /*定义一个最大整数*/
/*定义邻接矩阵类型*/
typedef int adjmatrix[n+1][n+1]; /*0号单元没用*/
typedef struct{
int fromvex,tovex;
int weight;
}Edge;
typedef Edge *EdgeNode;
int arcnum; /*边的个数*/
/*建立图的邻接矩阵*/
void CreatMatrix(adjmatrix GA){
int i,j,k,e;
printf("图中有%d个顶点\n",n);
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
if(i==j){
GA[i][j]=0; /*对角线的值置为0*/
}
else{
GA[i][j]=MaxNum; /*其它位置的值置初始化为一个最大整数*/
}
}
}
printf("请输入边的个数：");
scanf("%d",&arcnum);
printf("请输入边的信息，按照起点，终点，权值的形式输入：\n");
for(k=1;k<=arcnum;k++){
scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&e); /*读入边的信息*/
GA[i][j]=e;
GA[j][i]=e;
}
}
/*初始化图的边集数组*/
void InitEdge(EdgeNode GE,int m){
int i;
for(i=1;i<=m;i++){
GE[i].weight=0;
}
}
/*根据图的邻接矩阵生成图的边集数组*/
void GetEdgeSet(adjmatrix GA,EdgeNode GE){
int i,j,k=1;
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=i+1;j<=n;j++){
if(GA[i][j]!=0&&GA[i][j]!=MaxNum){
GE[k].fromvex=i;
GE[k].tovex=j;
GE[k].weight=GA[i][j];
k++;
}
}
}
}
/*按升序排列图的边集数组*/
void SortEdge(EdgeNode GE,int m){
int i,j,k;
Edge temp;
for(i=1;i<m;i++){
k=i;
for(j=i+1;j<=m;j++){
if(GE[k].weight>GE[j].weight){
k=j;
}
}
if(k!=i){
temp=GE[i];GE[i]=GE[k];GE[k]=temp;
}
}
}
/*利用普里姆算法从初始点v出发求邻接矩阵表示的图的最小生成树*/
void Prim(adjmatrix GA,EdgeNode T){
int i,j,k,min,u,m,w;
Edge temp;
/*给T赋初值，对应为v1依次到其余各顶点的边*/
k=1;
for(i=1;i<=n;i++){
if(i!=1){
T[k].fromvex=1;
T[k].tovex=i;
T[k].weight=GA[1][i];
k++;
}
}
/*进行n-1次循环，每次求出最小生成树中的第k条边*/
for(k=1;k<n;k++){
min=MaxNum;
m=k;
for(j=k;j<n;j++){
if(T[j].weight<min){
min=T[j].weight;m=j;
}
}
/*把最短边对调到k-1下标位置*/
temp=T[k];
T[k]=T[m];
T[m]=temp;
/*把新加入最小生成树T中的顶点序号赋给j*/
j=T[k].tovex;
/*修改有关边，使T中到T外的每一个顶点保持一条到目前为止最短的边*/
for(i=k+1;i<n;i++){
u=T[i].tovex;
w=GA[j][u];
if(w<T[i].weight){
T[i].weight=w;T[i].fromvex=j;
}
}
}
}
/*输出边集数组的每条边*/
void OutEdge(EdgeNode GE,int e){
int i;
printf("按照起点，终点，权值的形式输出的最小生成树为：\n");
for(i=1;i<=e;i++){
printf("%d,%d,%d\n",GE[i].fromvex,GE[i].tovex,GE[i].weight);
}
}
void main(){
adjmatrix GA;
Edge GE[n*(n-1)/2],T[n];
CreatMatrix(GA);
InitEdge(GE,arcnum);
GetEdgeSet(GA,GE);
SortEdge(GE,arcnum);
Prim(GA,T);
printf("\n");
OutEdge(T,n-1);
}
