BZOJ 3218 UOJ #77 A+B Problem (主席树、最小割)

大名鼎鼎的A+B Problem, 主席树优化最小割……

调题死活调不对，一怒之下改了一种写法交上去A了，但是改写法之后第4,5个点常数变大很多，于是喜提UOJ全站倒数第三

目前还不知道原来的写法为什么是错的，暂时先写一下A掉的那种写法的题解。

题目链接:

(BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3218

(UOJ) http://uoj.ac/problem/77

题解:

首先不难想到这样的最小割建图: (醒醒吧这种题就别老忘二分图上想了) 下文用\(Edge(u,v,w)\)表示从\(u\)向\(v\)连一条边权为\(w\)的单向边, \(S,T\)分别是源点和汇点

对每一个方格建一个点\(V_i\)，然后\(Edge(S,V_i,b_i), Edge(V_i,T,w_i)\), 这样一来这个点属于\(T\)集(\(S\)的边被割掉了)就表示这个点染成白色(舍弃\(b_i\)代价), 否则染成黑色。

此外对于每个方格再建新点\(E_i\), 然后\(Edge(V_i,E_i,p_i)\), 再对于满足\(1\le j\le i, a_j\in[l_i,r_i]\)的\(j\), \(Edge(E_i,V_j,+\inf)\), 表示那个奇怪的方格的限制

至此网络流建模结束。这个还是比较好想的，然而边数\(O(n^2)\), \(TLE+MLE\)不谢。

然后我们考虑如果只有\(l_i\le a_i\le r_i\)这个限制，我们可以对\(a_i\)排序离散化之后转化成了\(E_i\)这个点要向一个区间内的\(V_j\)连边，这样的话我们可以建出一棵线段树，线段树每个节点向它的两个儿子连边，然后往区间连边相当于往这个区间拆成的\(O(\log n)\)个线段树节点连边，边数\(O(\log n)\).

然而这题……还要\(1\le j\le i\)?

这样我们就要把线段树改成主席树(vfk大毒瘤！)

后面的都是套路: 以\(i\)为历史版本\(a_i\)为下标建主席树，然后主席树的每个节点往儿子连边，其余的连边方式自行思考(很无脑)，详见代码。

有一个地方需要注意: 有种可能是我往主席树里插入一个节点的时候，主席树这个节点上已经有值了。(也就是存在两个\(a_i\)相等的情况)

这怎么办呢？目前我还没有找到一个我认为合理的解决方法，最后直接简单粗暴地离散化的时候不去重，强行把相等变成不等的办法，导致UOJ上第4,5个点常数爆炸跑得和第9,10个点一样慢，全站倒数第三，不过还是过了。

然后是目前这题的一些还未解决的问题，我想到了若干种弥补相等问题的做法，结果全都是50分或者80分，目前相对来说最靠谱的一种(答案和正确答案相差最小)是对于每一个重叠的主席树节点\(T_i\)新建一个点\(T_i'\), \(Edge(T_{fa_i},T_i',+\inf), Edge(T_i',T_i,+\inf), Edge(T_i',T_j',+\inf)\) (\(fa_i\)表示主席树的父亲节点, \(j,j'\)是上一个历史版本的对应节点)。然而还是\(80\)分QAQ……所以哪位大佬能跟我说一下这个到底怎么解决啊，谢谢QwQ

代码实现

离散化时不去重的版本，全站倒数第三

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cassert>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 8e4;
const int M = 1e6;
const llong INF = 100000000000ll;
namespace NetFlow
{
	struct Edge
	{
		int v,nxt,rev; llong w;
	} e[(M<<1)+3];
	int dep[N+3];
	int te[N+3];
	int fe[N+3];
	int que[N+3];
	int n,en,s,t;
	void addedge(int u,int v,llong w)
	{
//		printf("addedge %d %d %lld\n",u,v,w);
		en++; e[en].v = v; e[en].w = w;
		e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en; e[en].rev = en+1;
		en++; e[en].v = u; e[en].w = 0;
		e[en].nxt = fe[v]; fe[v] = en; e[en].rev = en-1;
	}
	bool bfs()
	{
		for(int i=1; i<=n; i++) dep[i] = 0;
		int head = 1,tail = 1; que[1] = s; dep[s] = 1;
		while(head<=tail)
		{
			int u = que[head]; head++;
			for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
			{
				if(dep[e[i].v]==0 && e[i].w)
				{
					dep[e[i].v] = dep[u]+1;
					tail++; que[tail] = e[i].v;
				}
			}
		}
		return dep[t]!=0;
	}
	llong dfs(int u,llong cur)
	{
		if(u==t) return cur;
		llong rst = cur;
		for(int i=te[u]; i; i=e[i].nxt)
		{
			if(dep[e[i].v]==dep[u]+1 && rst>0 && e[i].w>0)
			{
				llong flow = dfs(e[i].v,min(e[i].w,rst));
				if(flow>0)
				{
					e[i].w-=flow; rst-=flow; e[e[i].rev].w+=flow;
					if(e[i].w>0) {te[u] = i;}
					if(rst==0) return cur;
				}
			}
		}
		if(cur==rst) dep[u] = 0;
		return cur-rst;
	}
	llong dinic()
	{
//		printf("Dinic n=%d\n",n);
		llong ret = 0ll;
		while(bfs())
		{
			for(int i=1; i<=n; i++) te[i] = fe[i];
			ret += dfs(s,INF);
		}
		return ret;
	}
}
using NetFlow::addedge;
using NetFlow::dinic;

struct Element
{
	llong b,w,p; int a,l,r; int id;
	bool operator <(const Element &arg) const
	{
		return a<arg.a;
	}
} a[N+3],b[N+3];
struct SgTNode
{
	int ls,rs;
} sgt[N+3];
vector<int> disc;
int rtn[N+3];
int n,siz;

int getdisc(int x)
{
	return lower_bound(disc.begin(),disc.end(),x)-disc.begin()+1;
}

void addval(int &pos,int le,int ri,int lrb,int id,llong w1,llong w2,llong w3)
{
	siz++; sgt[siz] = sgt[pos];
	pos = siz;
	if(le==ri) {addedge(1,pos,w1); addedge(pos,id,w3); addedge(pos,2,w2); return;}
	int mid = (le+ri)>>1;
	if(lrb<=mid) {addval(sgt[pos].ls,le,mid,lrb,id,w1,w2,w3);}
	else {addval(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lrb,id,w1,w2,w3);}
	if(sgt[pos].ls) {addedge(pos,sgt[pos].ls,INF);} //Judge 0
	if(sgt[pos].rs) {addedge(pos,sgt[pos].rs,INF);}
}

void AddEdge(int pos,int le,int ri,int lb,int rb,int id)
{
	if(pos==0) return;
	if(lb<=le && rb>=ri) {addedge(id,pos,INF); return;}
	int mid = (le+ri)>>1;
	if(lb<=mid) {AddEdge(sgt[pos].ls,le,mid,lb,rb,id);}
	if(rb>mid) {AddEdge(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lb,rb,id);}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%d%lld%lld%d%d%lld",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].w,&a[i].l,&a[i].r,&a[i].p); a[i].id = i;
		disc.push_back(a[i].a);
	}
	sort(disc.begin(),disc.end());
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		a[i].l = getdisc(a[i].l);
		a[i].r = getdisc(a[i].r+1)-1;
		if(a[i].l<1) a[i].l = 1;
		if(a[i].r>disc.size()) a[i].r = disc.size();
		a[i].a = i;
		b[a[i].id] = a[i];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = b[i];
//	for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d %lld %lld %d %d %lld\n",a[i].a,a[i].b,a[i].w,a[i].l,a[i].r,a[i].p);
	siz = n+2;
	rtn[0] = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
//		printf("i%d:\n",i);
		rtn[i] = rtn[i-1];
		addval(rtn[i],1,disc.size(),a[i].a,i+2,a[i].b,a[i].w,a[i].p);
		AddEdge(rtn[i-1],1,disc.size(),a[i].l,a[i].r,i+2);
//		printf("siz=%d\n",siz);
//		for(int j=1; j<=i; j++) printf("rtn[%d]=%d\n",j,rtn[j]);
//		for(int j=n+3; j<=siz; j++) printf("i%d ls%d rs%d\n",j,sgt[j].ls,sgt[j].rs);
//		puts("");
	}
	NetFlow::n = siz; NetFlow::s = 1; NetFlow::t = 2;
	llong ans = 0ll;
	for(int i=1; i<=n; i++) ans += a[i].b+a[i].w;
	ans = ans-dinic();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
/*
3
3 1 6 2 2 3
3 2 9 1 5 8
4 3 8 2 4 7
*/

附: 80分代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cassert>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 8e4;
const int M = 1e6;
const llong INF = 100000000000ll;
namespace NetFlow
{
	struct Edge
	{
		int v,nxt,rev; llong w;
	} e[(M<<1)+3];
	int dep[N+3];
	int te[N+3];
	int fe[N+3];
	int que[N+3];
	int n,en,s,t;
	void addedge(int u,int v,llong w)
	{
//		printf("addedge %d %d %lld\n",u,v,w);
		en++; e[en].v = v; e[en].w = w;
		e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en; e[en].rev = en+1;
		en++; e[en].v = u; e[en].w = 0;
		e[en].nxt = fe[v]; fe[v] = en; e[en].rev = en-1;
	}
	bool bfs()
	{
		for(int i=1; i<=n; i++) dep[i] = 0;
		int head = 1,tail = 1; que[1] = s; dep[s] = 1;
		while(head<=tail)
		{
			int u = que[head]; head++;
			for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
			{
				if(dep[e[i].v]==0 && e[i].w)
				{
					dep[e[i].v] = dep[u]+1;
					tail++; que[tail] = e[i].v;
				}
			}
		}
		return dep[t]!=0;
	}
	llong dfs(int u,llong cur)
	{
		if(u==t) return cur;
		llong rst = cur;
		for(int i=te[u]; i; i=e[i].nxt)
		{
			if(dep[e[i].v]==dep[u]+1 && rst>0 && e[i].w>0)
			{
				llong flow = dfs(e[i].v,min(e[i].w,rst));
				if(flow>0)
				{
					e[i].w-=flow; rst-=flow; e[e[i].rev].w+=flow;
					if(e[i].w>0) {te[u] = i;}
					if(rst==0) return cur;
				}
			}
		}
		if(cur==rst) dep[u] = 0;
		return cur-rst;
	}
	llong dinic()
	{
//		printf("Dinic n=%d\n",n);
		llong ret = 0ll;
		while(bfs())
		{
			for(int i=1; i<=n; i++) te[i] = fe[i];
			ret += dfs(s,INF);
		}
		return ret;
	}
}
using NetFlow::addedge;
using NetFlow::dinic;

struct Element
{
	llong b,w,p; int a,l,r;
} a[N+3];
struct SgTNode
{
	int ls,rs,prv;
} sgt[N+3];
vector<int> disc;
int rtn[N+3];
int n,siz;

int getdisc(int x)
{
	return lower_bound(disc.begin(),disc.end(),x)-disc.begin()+1;
}

void addval(int &pos,int le,int ri,int lrb,int id,llong w1,llong w2,llong w3,int prv)
{
	siz++; sgt[siz] = sgt[pos];
	if(le==ri && pos!=0) {siz++; addedge(prv,siz,INF); addedge(siz,siz-1,INF); addedge(siz,sgt[pos].prv,INF); pos = siz-1; sgt[pos].prv = siz;}
	else pos = siz,sgt[pos].prv = siz;
	if(le==ri) {addedge(1,pos,w1); addedge(pos,id,w3); addedge(pos,2,w2); return;}
	int mid = (le+ri)>>1;
	if(lrb<=mid) {addval(sgt[pos].ls,le,mid,lrb,id,w1,w2,w3,pos);}
	else {addval(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lrb,id,w1,w2,w3,pos);}
	if(sgt[pos].ls) {addedge(pos,sgt[pos].ls,INF);} //Judge 0
	if(sgt[pos].rs) {addedge(pos,sgt[pos].rs,INF);}
}

void AddEdge(int pos,int le,int ri,int lb,int rb,int id)
{
	if(pos==0) return;
	if(lb<=le && rb>=ri) {addedge(id,pos,INF); return;}
	int mid = (le+ri)>>1;
	if(lb<=mid) {AddEdge(sgt[pos].ls,le,mid,lb,rb,id);}
	if(rb>mid) {AddEdge(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lb,rb,id);}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%d%lld%lld%d%d%lld",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].w,&a[i].l,&a[i].r,&a[i].p);
		disc.push_back(a[i].a);
	}
	sort(disc.begin(),disc.end());
	disc.erase(unique(disc.begin(),disc.end()),disc.end());
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		a[i].a = getdisc(a[i].a);
		a[i].l = getdisc(a[i].l);
		a[i].r = getdisc(a[i].r+1)-1;
		if(a[i].l<1) a[i].l = 1;
		if(a[i].r>disc.size()) a[i].r = disc.size();
	}
//	for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d %lld %lld %d %d %lld\n",a[i].a,a[i].b,a[i].w,a[i].l,a[i].r,a[i].p);
	siz = n+2;
	rtn[0] = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
//		printf("i%d:\n",i);
		rtn[i] = rtn[i-1];
		addval(rtn[i],1,disc.size(),a[i].a,i+2,a[i].b,a[i].w,a[i].p,0);
		AddEdge(rtn[i-1],1,disc.size(),a[i].l,a[i].r,i+2);
//		printf("siz=%d\n",siz);
//		for(int j=1; j<=i; j++) printf("rtn[%d]=%d\n",j,rtn[j]);
//		for(int j=1; j<=siz; j++) printf("i%d ls%d rs%d\n",j,sgt[j].ls,sgt[j].rs);
//		puts("");
	}
	NetFlow::n = siz; NetFlow::s = 1; NetFlow::t = 2;
	llong ans = 0ll;
	for(int i=1; i<=n; i++) ans += a[i].b+a[i].w;
	ans = ans-dinic();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}