手动博客搬家: 本文发表于20180618 15:53:06, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/80724541
注: 欢迎移步 https://codeforces.com/blog/entry/61101 (想知道为什么会有\(61101\)这个奇怪的巧合)
咦我那时候不应该在准备期末考试吗
一、求解\(F(n)=aF(n-1)+b\)
解: \(F(n)=aF(n-1)-\frac{b}{a-1}+\frac{ab}{a-1}\)
\(F(n)+\frac{b}{a-1}=a(F(n-1)+\frac{b}{a-1})\)
同理\(F(n-1)+\frac{b}{a-1}=a(F(n-2)+\frac{b}{a-1})\)
\(......\)
\(F(2)+\frac{b}{a-1}=a(F(1)+\frac{b}{a-1})\)
\(F(n)=a^{n-1}(F(1)+\frac{b}{a-1})-\frac{b}{a-1}\)
二、求解\(F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)\)
特征方程法
令\(x+y=a, xy=-b\)
\(F(n)=(x+y)F(n-1)-xyF(n-2)\)
\(F(n)-xF(n-1)=y(F(n-1)+xF(n-2))=y^{n-2}(F(2)-xF(1))\)
\(F(n)-yF(n-1)=x(F(n-1)+yF(n-2))=x^{n-2}(F(2)-yF(1))\)
\((x-y)F(n-1)=x^{n-2}(F(2)-yF(1))-y^{n-2}(F(2)-xF(1))\)
\(F(n)=\frac{x^{n-1}(F(2)-yF(1))-y^{n-1}(F(2)-xF(1))}{x-y}\)
以上两种方法的本质都是构造一种函数\(G(x)=dG(x-1)\). 但是构造的方式略有不同。
其实这种方法也可以延伸到三阶以及更高阶递推式。
