图解 -- 树的汇总

树是一种很重要的数据结构，二叉树 、 AVL树 、红黑树 、 2-3树 、B-Tree 、B+Tree

 

====    二叉 树   ====

 

定义：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于等于根结点的值；

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于等于根结点的值；

• 它的左右子树均为二分查找树。

 

 

选取一个节点为参照根节点，会发现所有的左侧子节点小于等于参照点，右侧大于等于参照点。

比如根节点9，  9所有的左侧子节点（5、2、7、1、3）都小于等于9.

比如根节点13，13所有的左侧子节点（11、10、12）都大于等于13.

 

1、查找

查找节点 10：根节点9开始，10>9 右侧，10<13 左侧，10<11 左侧，找到10.

 

2、插入

插入 子节点 4：4<9 左侧，4<5 左侧，4>2 右侧，4>3 右侧

 

 

3、删除

删除节点（因为情况有多种，处理逻辑也是比较麻烦。）

A：删除叶子：好吧就是一个干巴巴的叶子，好办，找到-删除。

　  删除 7 ，这个7是叶子，那就找到并删除

 

 

B：有一个分支的，删除节点，子节点上提。

　　删除 2节点：找到2 ，删除2

　　再上提子节点 1

 

C：两个分支，节点删除，右子树最小的数代替被删除节点，

　　因为右子树最多有一个右叶子，重新指定引用。

　   删除 13，13有左右两个分支：

 

 　　因为 右分支肯定大于左面分支，所以上提右子节点 15

 

 

====    AVL 树   ====

自平衡二叉树，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1。也可以称之为 高度平衡树。

插入、查询、删除平均最坏的时间复杂度为O( log n )。

每个节点都有一个平衡因子，即左右子树的高度差 0 ，1，-1  这是满足AVL树的条件的；

也有可能是 -2 或者 2，高度差>1，所以需要自己再平衡，来满足AVL树的条件。

也就是只要高度大于1我就会自己执行执行一下旋转：

有这4种情况：左左 左右  右右  右左

左左：右旋转（单旋转）

 

左右：左旋转+右旋转（双旋转）

 

右右：左旋转（单旋转）

右左：左旋转+右旋转（双旋转），达到平衡

 

以上对应的是插入操作

 

查找：同二叉树

删除：父节点的平衡因子依然维护在 0 ，1 ，-1 说明没有打破平衡。平衡因子 2或者-2，我们依然使用旋转来达到平衡。