矩阵代数的 Burnside 定理

我们详细重述并证明 [1, Sec. 1.2] 中的 Burnside 定理及其相关推论．

下面设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的有限维线性空间，$\mathcal{B}(V)$ 是 $V$ 上的线性变换代数；$I$ 是 $\mathcal{B}(V)$ 的单位元．

Burnside 定理证明较长．为使逻辑顺畅，先做一些准备工作．

Lemma 1 设 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{B}(V)$ 上的乘法半群，若 $\mathcal{A}$ 不可约，则对任意非零的 $x\in V$，都有 $\mathcal{A}x:=\{Ax:A\in \mathcal{A}\}=V$（此时称 $x$ 是 $\mathcal{A}$ 的循环向量）．

Proof. 首先 $\mathcal{A}\ne \{0\}$，因为任何 $V$ 的子空间都是后者的不变子空间．

• 注意到 $\mathrm{Ker}\mathcal{A}:=\bigcap _{A\in \mathcal{A}}\mathrm{Ker}A$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个不变子空间，而 $\mathcal{A}$ 不可约，故 $\mathrm{Ker}\mathcal{A}=\{0\}$ 或 $V$．因为 $\mathcal{A}\ne \{0\}$，后者不可能发生，故 $\mathrm{Ker}\mathcal{A}=\{0\}$．
• 注意到 $\mathcal{A}x:=\{Ax:A\in \mathcal{A}\}$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个不变子空间，而 $\mathcal{A}$ 不可约，故 $\mathcal{A}x=\{0\}$ 或 $V$．由 $x\ne 0$ 和 $\mathrm{Ker}\mathcal{A}=\{0\}$，前者不可能发生，故 $\mathcal{A}x=V$．

Remark. 事实上 $\mathcal{B}(V)$ 上半群的可约性等价于其线性生成的代数的可约性，见 [1], Definition 2.1.1．

Corollary 1 设 $V^{\ast }$ 是 $V$ 的对偶空间．设 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{B}(V)$ 上的乘法半群，${\mathcal{A}}^{\ast }:=\{A^{\ast }:A\in \mathcal{A}\}$ 是 $\mathcal{A}$ 的对偶线性变换构成的集合（显然它也是个半群）．若 $\mathcal{A}$ 不可约，则对任意非零的线性函数 $\phi \in V^{\ast }$，都有 ${\mathcal{A}}^{\ast }\phi :=\{A^{\ast }\phi :A^{\ast }\in {\mathcal{A}}^{\ast }\}=\{\phi A:A\in \mathcal{A}\}=V^{\ast }$．

Proof. 定义 ${\mathcal{A}}^{\ast }\phi$ 的 annihilator $({\mathcal{A}}^{\ast }\phi {)}^0:=\{x^{\ast \ast }\in V^{\ast \ast }:({\mathcal{A}}^{\ast }\phi )(x)=0\}$．由 $\dim (A^{\ast }\phi {)}^0=\dim V^{\ast }-\dim (A^{\ast }\phi )$ 见 [2, Sec. 3F]， $$\begin{array}{rl}{\mathcal{A}}^{\ast }\phi =V^{\ast }& ⟺\dim ({\mathcal{A}}^{\ast }\phi )=\dim V^{\ast }\\ & ⟺\dim ({\mathcal{A}}^{\ast }\phi {)}^0=0\\ & ⟺({\mathcal{A}}^{\ast }\phi {)}^0=\{0\}\end{array}$$ 由 annihilator 的定义和 Lemma 1， $$\begin{array}{rl}({\mathcal{A}}^{\ast }\phi {)}^0=\{0\}& ⟺({\mathcal{A}}^{\ast }\phi )x\ne \{0\},\mathrm{\forall }x\ne 0\\ & ⟺\phi \mathcal{A}x\ne \{0\},\mathrm{\forall }x\ne 0\\ & ⟺\phi V\ne \{0\}\\ & ⟺\phi \ne 0\end{array}$$ 故最终我们得到 ${\mathcal{A}}^{\ast }\phi =V^{\ast }⟺\phi \ne 0$．

若下面的猜想成立，则上述推论将具有更简单的推导．

Conjecture 1 若 $\mathcal{A}$ 不可约，则 ${\mathcal{A}}^{\ast }$ 也不可约．

我们暂未找到证明或证伪上述猜想的方法．

下面来证明 Burnside 定理．

Theorem 1 (Burnside 定理) $\mathcal{B}(V)$ 的不可约子代数有且只有 $\mathcal{B}(V)$．

首先说明 $\mathcal{B}(V)$ 的不可约性．因为 $\mathcal{B}(V)M=V$ 对任意非零不变子空间 $M$ 成立，故 $\mathcal{B}(V)$ 不可约．下面设 $\mathcal{A}$ 是一任意给定的 $\mathcal{B}(V)$ 的一个不可约子代数．显然 $\mathcal{A}\ne \{0\}$，原因在 Lemma 1 中已述．我们的证明分三步进行：

1. 证明 $\mathcal{A}$ 中存在一个秩为 $1$ 的线性变换 $T_0$．
2. 证明所有 $\mathcal{B}(V)$ 中秩为 $1$ 的线性变换都在 $\mathcal{A}$ 中．
3. 证明任何 $\mathcal{B}(V)$ 中的线性变换都可被分解为若干个秩不超过 $1$ 的线性变换的和，从而（利用代数对加法的封闭性）$\mathcal{A}=\mathcal{B}(V)$．

Proof (第一部分). 由 $\mathcal{A}\ne \{0\}$，可以取 $T_0$ 是 $\mathcal{A}$ 中的一个秩最小的非零线性变换，$\mathrm{rank}{T}_0\ge 1$．考虑反证，假设 $\mathrm{rank}{T}_0\ge 2$，只要构造出一个非零线性变换 $S_{\ast }\in \mathcal{A}$ 使得 $\mathrm{Im}{S}_{\ast }⊊\mathrm{Im}{T}_0$，就能推出矛盾．

由 $\mathrm{rank}{T}_0\ge 2$，可设 $\mathrm{Im}{T}_0$ 中存在两个线性无关的非零向量 $\{T_0{x}_1,T_0{x}_2\}$（因此 $x_1$ 与 $x_2$ 也线性无关）．由 Lemma 1，存在线性变换 $A_0\in \mathcal{A}$ 使得 $A_0{T}_0{x}_1=x_2$，于是 $\{T_0{x}_1,T_0{x}_2\}=\{T_0{x}_1,T_{0}A{T}_0{x}_1\}$ 线性无关．这意味着 $(\lambda T_0-T_0{A}_0{T}_0)x_1\ne 0$ 对任意 $\lambda \in \mathbb{C}$ 成立，即线性变换 $S_{\lambda }:=\lambda T_0-T_0{A}_0{T}_0\in \mathcal{A}$ 非零．下面尝试从这些 $S_{\lambda }$ 中找到我们想要的 $S_{\ast }$．

• 注意到 $S_{\lambda }=T_0(\lambda I-A_0{T}_0)$，故 $\mathrm{Im}{S}_{\lambda }\subset \mathrm{Im}{T}_0$．
• 注意到 $S_{\lambda }=(\lambda I-T_0{A}_0)T_0$，而 $\mathrm{Im}{T}_0$ 是 $T_0{A}_0$ 的一个不变子空间．故可以取 $T_0{A}_0$ 在 $\mathrm{Im}{T}_0$ 上的限制 $T_0{A}_0{|}_{\mathrm{Im}{T}_0}$．设 $T_0{A}_0{|}_{\mathrm{Im}{T}_0}$ 有一特征值 ${\lambda }_0$（由于 $\mathrm{Im}{T}_0$ 是复数域上有限维线性空间），这样 ${\lambda }_{0}I-T_0{A}_0{|}_{\mathrm{Im}{T}_0}$ 就不是单射，因此也不是满射（由于 $\mathrm{Im}{T}_0$ 是有限维线性空间），即 $S_{{\lambda }_0}=({\lambda }_{0}I-T_0{A}_0)T_0$ 不能映满 $\mathrm{Im}{T}_0$．

综上 $\mathrm{Im}{S}_{{\lambda }_0}⊊\mathrm{Im}{T}_0$ 且 $0\ne S_{{\lambda }_0}\in \mathcal{A}$，故 $S_{{\lambda }_0}$ 就是我们想要的 $S_{\ast }$．

Proof (第二部分). 对任意给定的某一秩为 $1$ 的线性变换 $T\in \mathcal{B}(V)$，任取非零的 $y\in \mathrm{Im}T$，存在线性函数 $\phi \in V^{\ast }$ 使得 $Tx=\phi (x)y,\mathrm{\forall }x\in V$．已经知道 $\mathcal{A}$ 中存在一个秩为 $1$ 的线性变换 $T_0$，则任取非零的 $y_0\in \mathrm{Im}{T}_0$，存在线性函数 ${\phi }_0\in V^{\ast }$ 使得 $T_{0}x={\phi }_0(x)y_0,\mathrm{\forall }x\in V$．

• 由 Lemma 1，存在 $A\in \mathcal{A}$ 使得 $A{y}_0=y$．
• 由 Corollary 1，存在 $B\in \mathcal{A}$ 使得 ${\phi }_{0}B=\phi$．

综上， $$Tx=\phi (x)y={\phi }_0(Bx)A{y}_0=A({\phi }_0(Bx)y_0)=A{T}_{0}Bx,\mathrm{\forall }x\in V$$ 故 $T=A{T}_{0}B\in \mathcal{A}$．

Proof (第三部分). 设 $A\in \mathcal{B}(V)$ 是任一给定的线性变换，任取 $V$ 中的一组基 $b_1,\dots ,b_n$，设其对偶基为 ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$．定义关于基 $b_1,\dots ,b_n$ 的 $n$ 个投影变换 $P_k:x\mapsto {\phi }_k(x)b_k$，由对偶基性质，显然有 $I=\sum _{k=1}^n{P}_k$，于是 $$A=AI=A\sum _{k=1}^n{P}_k=\sum _{k=1}^{n}A{P}_k$$ 其中每一个 $A{P}_k$ 都是秩不超过 $1$ 的线性变换．

至此，Theorem 1 得到完整证明．

Burnside 定理可以为下面的定理提供一个较为简单的证明．

Theorem 2 $\mathcal{B}(V)$ 是单代数，即 $\{0\}$ 和 $\mathcal{B}(V)$ 是代数 $\mathcal{B}(V)$ 上唯二的双边理想．

Proof. 显然 $\{0\}$ 和 $\{\mathcal{B}(V)\}$ 都是双边理想．下面任取一 $\mathcal{B}(V)$ 上的双边理想 $\mathcal{I}\ne \{0\}$，我们证明它不可约．任取 $\mathcal{I}$ 的一个非零不变子空间 $M$，由 $M,\mathcal{I}$ 的非零性和 $\mathcal{I}V$ 的非零性， $$M\supset \mathcal{I}M\supset \mathcal{B}(V)\mathcal{I}\mathcal{B}(V)M=\mathcal{B}(V)\mathcal{I}V=\mathcal{B}(V)(\mathcal{I}V)=V$$ 故只能有 $M=V$，因此 $\mathcal{I}$ 确不可约．现在 $\mathcal{I}$ 是 $\mathcal{B}(V)$ 的不可约理想，理想一定是子代数，根据 Theorem 1 就有 $\mathcal{I}=\mathcal{B}(V)$．

下面的定理为 $\mathcal{B}(V)$ 上的全体代数自同构提供了表示方法．

Theorem 3 $\mathcal{B}(V)$ 上的全体代数自同构均为内自同构．即，任意 $\mathcal{B}(V)$ 上的自同构 $\phi :\mathcal{B}(V)\to \mathcal{B}(V)$ 都可写为 $A\mapsto SA{S}^{-1}$ 的形式，其中 $S\in \mathcal{B}(V)$ 为与 $\phi$ 相关的某一可逆线性变换．

将矩阵表示和线性空间的语言相结合，可以为该定理提供思路更清晰的证明．

Proof. 取定 $V$ 上的一组基 $x_1,\dots ,x_n$，定义 $$E_{i,j}(x_1,\dots ,x_n):=(x_1,\dots ,x_n){\hat{E}}_{i,j}(i=1,2,\dots ,n;j=1,2,\dots ,n)$$ 其中全体 ${\hat{E}}_{i,j}\in {\mathrm{M}}_n(\mathbb{C})$ 代表 $n$ 阶矩阵空间的一组自然基．于是全体 $E_{i,j}$ 自然也是 $\mathcal{B}(V)$ 的一组基．现在只需研究自同构 $\phi$ 将 $E_{i,j}$ 映至何处．为显式地将 $S$ 确定出来，不妨先考虑 $\phi (E_{i,i})$ 的性质．

首先指出，$\phi (E_{i,i})$ 仍然是秩为 $1$ 的投影变换，因为：

• $E_{i,i}$ 是投影变换，根据其幂等性和代数自同构保持乘法，$\phi (E_{i,i})$ 也是投影变换．

• $E_{i,i}\mathcal{B}(V)E_{i,i}$ 是 $\mathcal{B}(V)$ 的 $1$ 维子空间（从矩阵表示角度考虑），因此 $\phi (E_{i,i}\mathcal{B}(V)E_{i,i})=\phi (E_{i,i})\mathcal{B}(V)\phi (E_{i,i})$ 也是 $\mathcal{B}(V)$ 的 $1$ 维子空间．考虑到 $\phi (E_{i,i})$ 还是投影变换，故其秩只能为 $1$（同样从矩阵表示角度考虑）．

现在设 $\mathrm{Im}\phi (E_{i,i})=\mathrm{span}\{y_i\}$．因为 $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\mathrm{span}\{y_i\}& =\sum _{i=1}^n\phi (E_{i,i})V\\ & \supset (\sum _{i=1}^n\phi (E_{i,i}))V\\ & =\phi \left(\sum _{i=1}^n{E}_{i,i}\right)V\\ & =\phi (I)V=IV=V\end{array}$$ 故 $y_1,\dots ,y_n$ 仍是 $V$ 的一组基．定义可逆线性变换 $S(x_1,\dots ,x_n):=(y_1,\dots ,y_n)$．至此，断言 $\phi$ 就是 $A\mapsto SA{S}^{-1}$，为此下面证明 $\phi (E_{i,j})=S{E}_{i,j}{S}^{-1}$．

仍然先看 $\phi (E_{i,i})$．已经知道 $\phi (E_{i,i})$ 是秩为 $1$ 的投影变换，故 $$\begin{array}{rl}& \phantom{⟹.}\phi (E_{i,i})y_i=y_i\\ & ⟹\phi (E_{i,i})S{x}_i=S{x}_i\\ & ⟹S^{-1}\phi (E_{i,i})S{x}_i=x_i\end{array}$$ 容易验证 $S^{-1}\phi (E_{i,i})S$ 幂等且秩为 $1$，因此只能有 $S^{-1}\phi (E_{i,i})S=E_{i,i}$，即 $\phi (E_{i,i})=S{E}_{i,i}{S}^{-1}$．

现在看 $\phi (E_{i,j})$．事实上 $$\begin{array}{rl}& \phantom{⟹.}\phi (E_{i,j})\phi (E_{j,j})=\phi (E_{i,j}{E}_{j,j})=\phi (E_{i,i})\\ & ⟹\phi (E_{i,j})S{E}_{j,j}{S}^{-1}=S{E}_{i,i}{S}^{-1}\\ & ⟹S^{-1}\phi (E_{i,j})S{E}_{j,j}=E_{i,i}\\ & ⟹S^{-1}\phi (E_{i,j})S{x}_j=x_i\end{array}$$ 现在 $S^{-1}\phi (E_{i,j})S$ 秩为 $1$，且对任何 $k\ne j$， $$\begin{array}{rl}(S^{-1}\phi (E_{i,j})S)x_k& =S^{-1}\phi (E_{i,j})y_k\\ & =S^{-1}\phi (E_{i,j}{E}_{j,j})y_k\\ & =S^{-1}\phi (E_{i,j})(\phi (E_{j,j})y_k)\\ & =0\end{array}$$ 故可以断定 $S^{-1}\phi (E_{i,j})S=E_{i,j}$，即 $\phi (E_{i,j})=S^{-1}{E}_{i,j}S$．

Remark. 研究 $\mathcal{B}(V)$ 上的自同态时，可能在应用线性变换关于其作用域 $V$ 的性质时遇到困难．这时需要将其合理转化为 $\mathcal{B}(V)$ 上的代数性质，如考虑投影变换的幂等性，将投影变换秩为 $1$ 转化为 $\mathcal{B}(V)$ 上的 $1$ 维子空间等．这些技巧在证明中多次使用．

References

[1]

H. Radjavi and P. Rosenthal, Simultaneous Triangularization. in Universitext. New York, NY: Springer, 2000. doi: 10.1007/978-1-4612-1200-3.

[2]

S. Axler, Linear Algebra Done Right. in Undergraduate Texts in Mathematics. Cham: Springer International Publishing, 2015. doi: 10.1007/978-3-319-11080-6.