Hilbert 曲线与集合势理论

1 空间填充曲线

1.1 曲线

（我们所讨论的）曲线：定义域为 $[0,1]$ 的连续映射．

1.2 空间填充曲线

（我们所讨论的）空间填充曲线的定义：连续满射 $f:[0,1]\to [0,1{]}^2$．

2 Hilbert 曲线

2.1 $n$ 阶伪 Hilbert 曲线 $H_n(t)$

理解一：将 $[0,1{]}^2$ 等分成 $2^n\times 2^n$ 个小方块，按特定顺序将每个小方块的中心点用直线连接起来．这顺序是递归构造的．

理解二：构造 $n$ 阶伪 Hilbert 曲线时，将所研究的方块区域四等分．左下角填入左上-右下翻转的 $n-1$ 阶伪 Hilbert 曲线；左上、右上角填入未翻转的 $n-1$ 阶伪 Hilbert 曲线；右下角填入左下-右上翻转的 $n-1$ 阶伪 Hilbert 曲线．最后用三条直线连接各小方块内曲线的起止点．

Exercise 1 $n$ 阶伪 Hilbert 曲线的长度 $\mathrm{len}{H}_n=2^n-2^{-n}$．

Solution (递推). 由伪 Hilbert 曲线的递归定义得 $$\mathrm{len}{H}_n=2\mathrm{len}{H}_{n-1}+\frac{3}{2^n}$$ 边界为 $\mathrm{len}{H}_0=0$．求解该递推式即可．

Solution (直观). 注意到 $n$ 阶伪 Hilbert 曲线将区间分为 $2^n\times 2^n=4^n$ 个小方块，除首尾方块，其余小方块内的曲线长度均为小方块边长 $2^n$．因此 $$\mathrm{len}{H}_n=4^{-n}\cdot 2^{-n}-2\cdot \frac{2^{-n}}{2}=2^n-2^{-n}$$

式中 “$-2^{-n}$” 部分并不讨人喜爱．我们考虑水平或垂直地延长首尾方块曲线至任意边界，这样曲线长度 $\mathrm{len}{H}_n=2^n$ 就恒成立了．我们在后文的讨论中使用这一改进．

2.2 Hilbert 曲线 $H(t)$

真正的 Hilbert 曲线是由 $n$ 阶伪 Hilbert 曲线取逐点极限得到的．

$$H(t)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{H}_n(t)$$

Theorem 1 (良定义性) 伪 Hilbert 曲线一致收敛（因此也是逐点收敛的）．

Proof. 对一给定的 $t\in [0,1]$，设其落在区间 $[k{4}^{-n_0},(k+1)4^{-n_0}]$，则对任意 $n\ge n_0$，$H_n(t)$ 均落在 $H_{n_0}(t)$ 所确定的边长为 $2^{-n}$ 的小闭方块内，即 $\parallel H_n(t)-H_{n_0}(t){\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le 2^{-n}$．由 Cauchy 收敛原理即得其一致收敛性．

Theorem 2 (满射性) Hilbert 曲线是 $[0,1]\to [0,1{]}^2$ 的满射．

Proof. 对一给定的 $(x,y)\in [0,1{]}^2$，将所研究的闭方块区域四等分，任取一 $(x,y)$ 所在小闭方块作为下一个研究的闭方块．如此进行下去，构造出一列框住 $(x,y)$ 的收缩的闭方块套．闭方块套里的每一个半径为 $2^{-n}$ 的闭方块都对应着 $[0,1]$ 上长 $4^{-n}$ 的一个闭区间，这些区间同样构成了 $[0,1]$ 上的一个闭区间套．由闭区间套原理，这列闭区间套确定了一个实数 $t\in [0,1]$，它就是使得 $f(t)=(x,y)$ 的一个解．

Remark. 需要注意的是，当 $(x,y)$ 落在某两个闭方块的公共边界上时，证明中我们任取其中一个闭方块继续讨论．因此，选择不同闭方块将可能使我们得到不同的 $t$ 值，这是 Hilbert 曲线不是单射的原因之一．

Theorem 3 (连续性) Hilbert 曲线在其定义域内连续．

Proof. 对一给定的 $t\in [0,1]$，考虑 $H(t)$ 任意取定的 $\epsilon$ 邻域 $U_{\epsilon }(H(t))=\{(x,y):\parallel H(t)-(x,y){\parallel }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon \}$，取 $n_0={\log }_2\epsilon -2$，即可使第 $n_0$ 阶伪 Hillbert 曲线划分出的各闭方块边长为$2^{-n_0}<\frac{\epsilon }{2}$．设此时 $t$ 落在闭区间 $I=[k{4}^{-n_0},(k+1)4^{-n_0}]$（如在边界，则任取），其对应闭方块 $J=H(I)$．由于 $I$ 已经是 $t$ 的一个（单侧）邻域，为证明 $H(t)$ 在点 $t$ 的连续性，下面只需证 $J\subset U_{\epsilon }(H(t))$．由于我们构造的 $n_0$ 使闭方块 $J$ 的边长为 $2^{-n_0}<\frac{\epsilon }{2}$，$H(t)$ 与这闭方块中任意点 $(x,y)$ 的距离 $$\parallel H(t)-(x,y){\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{\epsilon }{2}<\epsilon$$ 故 $J\subset U_{\epsilon }(H(t))$．

Exercise 2 Hilbert 曲线是不可求长的．

对一般的曲线而言，逐点收敛于曲线 $f$ 的曲线族 $f_n$ 的长度的极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{len}{f}_n$ 与 $f$ 的长度 $\mathrm{len}f$ 并不一定相同．这一事实有一简单有力的实例验证：用锯齿状曲线逼近圆．

因此，直接取 Exercise 1 的极限并不可行．根据曲线长度的定义，只有构造出一族直接由 $H(t)$ 上点构成的近似曲线，我们才能从这族曲线长度的极限中得到 Hilbert 曲线的正确长度．

Proof. 考虑划分 $P_n:t_k=k{4}^{-n}(k=0,1,\dots ,4^n)$，将 $H(t_k)$ 依次用折线连接，就得到了《Space-filling curves》2.6 节^[1]讨论的 Hilbert 曲线的 $n$ 阶近似多边形曲线 $P_n(t)$（Approximating polygon for the Hilbert curve）．我们指出，与 $n$ 阶伪 Hilbert 曲线相同，$n$ 阶 Hilbert 近似多边形曲线仍然可以类似的由递归方法得到，遍历 $2^n\times 2^n$ 个小方块，且平均每个小方块内的曲线长度为 $2^{-n}$．因此，$n$ 阶 Hilbert 近似多边形曲线的长度 $\mathrm{len}{P}_n(t)=(2^n\times 2^n)\cdot 2^{-n}=2^n$．由于该数列没有上界，故我们说明了 Hilbert 曲线的不可求长性．

2.3 全平面填充

环绕填充并连接相邻曲线即可．

2.4 四进制小数表示

$n$ 阶伪 Hilbert 曲线对 $[0,1]$ 区间的划分操作可被一一对应地记为 $n$ 位四进制小数，从而为 $[0,1]$ 上被划分出的区间和对应的 $[0,1{]}^2$ 上的方块赋予了一种简洁的表示方法．但由于递归构造时左下、右下角涉及翻转操作，为每个实数 $t$（无限位规范四进制小数）写出其平面对应点 $H(t)$ 的非递归封闭形式表达稍显复杂．《Space-filling curves》^[1]的 2.3 节给出了基于复数和四进制小数的精确表示．

2.5 小结

• Hilbert 曲线确实遍历了 $[0,1{]}^2$ 区域的所有点.
• Hilbert 曲线是满射, 但不是单射，所以不是从线段到正方形区域的双射．
• $[0,1{]}^2\to [0,1]$ 的单射（甚至双射）？集合势理论．
• （补充）空间填充曲线必自交，即不能是单射．（Pf：否则与 $[0,1{]}^2$ 同胚，这显然荒谬．）（证明同胚逆映射连续需用拓扑定理：any continuous bijection from a compact space onto a Hausdorff space is a homeomorphism）
• （补充）不自交但有面积的曲线：Osgood 曲线．但它不是空间填充曲线．

3 集合势理论

3.1 集合的势

• 等势，劣势于，优势于．

• “劣势于”是集合上的序关系：自反性、反对称性（Bernstein 定理）、传递性．

  事实上更是全序关系，证明需用到选择公理．

3.2 有限集、可列集与无限集

• 有限集，可列集，无限集．

• 无限集的充要条件：与某一真子集等势（Dedekind 定义）．

  充分性：归纳取出可列集，该部分映射到后继形成双射．

  必要性：即有限集不与任何其真子集等势．冗长，证明略．

• 无限集并有限或可列集仍与原无限集等势．

$${\mathbb{N}}^2\approx \mathbb{N}$$

本质：可列个可列集的并还是可列集；可列集的有限次笛卡尔积仍是可列集．

3.3 从可列到不可列

$$\mathbb{R}\not\approx \mathbb{N}$$

写成小数，对角线法．

规范小数（规定其均为无限小数），规范二进制小数．

$$2^{\mathbb{N}}\approx \mathbb{R}$$

核心在于不规范小数是可列集．

$${\mathbb{R}}^2\approx \mathbb{R}$$

小数穿插构造法．需要注意的是，构造的 $(0,1{)}^2\to (0,1)$ 的单射不是满射 $$c=0.303030\dots ⟹a=0.333\dots ,b=0.000\dots$$ 此外，它也不是连续映射 $$\begin{array}{rl}a=0.3333\dots ,b=0.4999\dots & ⟹c=0.343939\dots \\ a=0.3333\dots ,b=0.5000\dots & ⟹c=0.353030\dots \end{array}$$ 其对应的 $[0,1]\to [0,1{]}^2$ 的非单的满射（如构造出的小数不规范，则将其规范化）亦不连续． $$\begin{array}{rl}c=0.4999\dots & ⟹a=0.4999\dots ,b=0.9999\dots \\ c=0.5000\dots & ⟹a=0.5000\dots ,b=0.0000\dots \end{array}$$

Fun fact: ${\mathbb{R}}^2\approx {\left(2^{\mathbb{N}}\right)}^2\approx 2^{\left(\mathbb{N}\times 2\right)}\approx 2^{\mathbb{N}}\approx \mathbb{R}$（基数理论）

3.4 小结

• Hilbert 曲线：$\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ 的连续满射．
• 集合势理论：${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 的不连续单（双）射．

Comments

• 希尔伯特曲线及性质的形式化理解 - zzdyyy^[2]

  本文脉络的主要参考．

• Why does the Hilbert curve fill the whole square? - Math StackExchange^[3]

  提供了收敛性的较严谨证明．

• 希尔伯特曲线：无限数学怎样应用于有限世界 - 3Blue1Brown^[4]

  优秀的可视化．

• Space-filling curve - Wikipedia^[5]

• 《集合论基础教程》张峰、陶然^[6]

扩展阅读：

• 《Space-filling curves》Hans Sagan^[1]

  回顾了空间填充曲线发展历史；用形式化的语言刻画了 Hilbert 曲线，见文内引用．

Acknowledgements

感谢吕老师组织研讨课．本次研讨课与宁同学一同准备并主要由后者主讲，在讨论和展示过程中收获颇丰．

References

1. Sagan, H. (1994). Space-filling curves. Springer Science & Business Media.

2. zzdyyy. (2017). 希尔伯特曲线及性质的形式化理解. https://www.cnblogs.com/zzdyyy/p/7636474.html.

3. (https://math.stackexchange.com/users/22857/martin-argerami), M. A. (n.d.). Why does the hilbert curve fill the whole square? Mathematics Stack Exchange. https://math.stackexchange.com/q/142029

4. 3Blue1Brown. (2016). 希尔伯特曲线：无限数学怎样应用于有限世界. https://www.bilibili.com/video/av4201747.

5. Wikipedia. (n.d.). Space-filling curve - wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve.

6. 张峰, & 陶然. (2021). 集合论基础教程. 清华大学出版社.