从台体的体积公式谈起

前些天做到一个猜圆台体两端电阻阻值公式的题，刚想积分乱搞时突然想起——台体不是有体积公式的吗...

于是就有下面的内容了。

台体本质上是锥体被一个平行与底面的平面所截而形成的几何体，所以可以把锥体补出来再研究。考虑从微积分的角度思考。设台体高度为 $h$ ，上、下底面面积分别为 $S_1, S_2$ ，上底面到锥体顶点的距离为 $x$ 。锥体的若干底面互相相似，而它们的的“半径”又与它们各自到锥体顶点的距离成正比，因此容易发现底面面积与该距离的平方成正比，即

k = \frac{S_{1}}{x^{2}} = \frac{S_{2}}{(x + h)^{2}}

$k = \frac{S_1}{x^2} = \frac{S_2}{(x+h)^2}$

这是在三维空间里的情况。可以类比的写出 $n$ 维台体的式子：

k = \frac{S_{1}}{x^{n - 1}} = \frac{S_{2}}{(x + h)^{n - 1}}

$k = \frac{S_1}{x^{n-1}} = \frac{S_2}{(x+h)^{n-1}}$

（当然这里的 $S_1,S_2$ 就是“超面积”了）

进一步的，可以将超面积写成关于与顶点距离的函数形式：

\begin{aligned} S_{1} & = S (x) = k x^{n - 1} \\ S_{2} & = S (x + h) = k (x + h)^{n - 1} \end{aligned}

$\begin{aligned} S_1 &= S(x) = k x^{n-1} \\ S_2 &= S(x+h) = k (x+h)^{n-1} \end{aligned}$

而我们要求的“超体积”，就可以顺理成章的表示为面积函数 $S(x)$ 在垂直轴线上的积分了

V = \int_{x}^{x + h} S (x) d x = k \int_{x}^{x + h} x^{n - 1} d x = \frac{k}{n} ({(x + h)}^{n} - x^{n})

$V = \int_{x}^{x+h} S(x) \mathrm d x = k \int_{x}^{x+h} x^{n-1} \mathrm d x = \frac k n \left( \left(x+h \right)^n - x^n \right)$

这就是用微积分求到的台体体积公式。

那么问题来了——这种形式的台体体积公式和几何法得到的

$V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1} S_{2}} + S_{2})$
$V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$

有什么联系呢？

随便玩一下吧， $\frac 1 3$ 毋庸置疑和三维有关，换成 $\frac 1 n$ 就好；后面那一坨挺对称的还蛮好看，写个求和符号让它更好看吧（

于是猜测台体体积公式的 $n$ 维扩展：

V = \frac{1}{n} h \sum_{i = 0}^{n - 1} S_{1}^{\frac{i}{n - 1}} S_{2}^{1 - \frac{i}{n - 1}}

$V = \frac 1 n h \sum_{i=0}^{n-1} S_1^{\frac{i}{n-1}} S_2^{1-\frac{i}{n-1}}$

用 $S(x)$ 函数的形式替换 $S_1, S_2$ ，得

V = \frac{k}{h} \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i} (x + h)^{n - 1 - i}

$V = \frac k h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i}$

哎！与前面积分得出的台体体积公式比较，发现只需证明

(x + h)^{n} - x^{n} = h \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i} (x + h)^{n - 1 - i}

$(x+h)^n - x^n = h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i}$

试着证明一下吧。观察发现 $h$ 可以拆成 $(x+h)-x$ ，故右式可以写成

\begin{aligned} h \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i} (x + h)^{n - 1 - i} & = ((x + h) - x) \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i} (x + h)^{n - 1 - i} \\ = (x + h) \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i} (x + h)^{n - 1 - i} - x \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i} (x + h)^{n - 1 - i} \\ = \sum_{i = 0}^{n - 1} x^{i} (x + h)^{n - i} - \sum_{i = 1}^{n} x^{i} (x + h)^{n - i} \\ = (x + h)^{n} - x^{n} \end{aligned}

$\begin{aligned} h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} &= ((x+h)-x) \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \\ &= (x+h) \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} - x \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-i} - \sum_{i=1}^{n} x^i (x+h)^{n-i} \\ &= (x+h)^n - x^n \end{aligned}$

得证。

暂时不知道这个定理有什么具体的名字，知道的大佬请告诉我（

所以这玩意有什么用呢？

首先当然是证明（超）台体体积公式，这个上面已经提到。

还有一个用途就是证明 $n \in \mathrm{N_+}$ 的幂函数 $x^n$ 的导数公式。