upd 2021/08/13:
搬博客时随便一看发现当时完全是在扯淡——矩阵乘法哪来交换律啊我的天...
已经修改了,误人子弟了真是抱歉...
还有,为了简便证明过程只证明了方阵的结合律,一般矩阵的结合律证明与此相似。
其实很naive...
证明的主要意义在于说明两种矩阵运算如有分配律,则有矩阵乘法的结合律的性质。
若有面向矩阵的二元运算 ⊕,⊗,其中 ⊕ 满足交换律,并且有 ⊗ 对 ⊕ 的左、右分配律,即
a⊗(b⊕c)=a⊗b⊕a⊗c(b⊕c)⊗a=b⊗a⊕c⊗a
据此定义矩阵乘法 A∗B=C ,即
Ci,j=n⨁k=1Ai,k⊗Bk,j
( A,B,C 为矩阵,用 Ai,j 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素)
则矩阵乘法具有结合律:
(A∗B)∗C=A∗(B∗C)
证明:
((A∗B)∗C)i,j=n⨁k=1(A∗B)i,k⊗Ck,j=n⨁k=1(n⨁l=1Ai,l⊗Bl,k)⊗Ck,j=n⨁k=1n⨁l=1Ai,l⊗Bl,k⊗Ck,j...分配律=n⨁l=1n⨁k=1Ai,l⊗Bl,k⊗Ck,j...交换律更换枚举=n⨁l=1Ai,l⊗(n⨁k=1Bl,k⊗Ck,j)...分配律=n⨁l=1Ai,l⊗(B∗C)l,j=(A∗(B∗C))i,j
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