关于矩阵乘法结合律的证明

upd 2021/08/13:

搬博客时随便一看发现当时完全是在扯淡——矩阵乘法哪来交换律啊我的天...

已经修改了,误人子弟了真是抱歉...

还有,为了简便证明过程只证明了方阵的结合律,一般矩阵的结合律证明与此相似。


其实很naive...

证明的主要意义在于说明两种矩阵运算如有分配律,则有矩阵乘法的结合律的性质。

若有面向矩阵的二元运算 ,​​,其中 ​ 满足交换律,并且有 ​ 对 ​​ 的左、右分配律,即

a(bc)=abac(bc)a=baca

据此定义矩阵乘法 AB=C ,即

Ci,j=k=1nAi,kBk,j

A,B,C 为矩阵,用 Ai,j 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素)

则矩阵乘法具有结合律:

(AB)C=A(BC)

证明:

((AB)C)i,j=k=1n(AB)i,kCk,j=k=1n(l=1nAi,lBl,k)Ck,j=k=1nl=1nAi,lBl,kCk,j...分配律=l=1nk=1nAi,lBl,kCk,j...交换律更换枚举=l=1nAi,l(k=1nBl,kCk,j)...分配律=l=1nAi,l(BC)l,j=(A(BC))i,j

posted @   sun123zxy  阅读(2768)  评论(0编辑  收藏  举报
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