动态规划入门之小明课间爬台阶

从前有一个很可爱的小学生叫做小明，小明平时最大的爱好就是思考问题。
有一天，小明走到了教学楼的台阶前，小明心想：“来学校上学都有好几天了，竟然没有数过每一层有多少台阶”，然后他就开始数了起来：
1、2、……
“一共有10个台阶！”
数完了台阶，小明开开心心地上台阶了。可是小明边上台阶，他又边思考呀：“我每次跨一步可以上一级台阶，也可以上二级台阶，再用力跨的话还可以上三级台阶。那么我从最底下的地面走到最上层的10级台阶，有多少方案数呢？”
这个问题引起了小明的思考，但是小明是一个勤于思考的好学生，他绝对不会让一个问题难倒他的。
小明于是开始对这个问题进行全面的思考：
假设我现在站在台阶前，我所在的地面是第0层台阶，我可以到达的台阶分别是第1、2、3、……、10层台阶，那么这个问题就变成了：
“请问从第0层台阶开始，每次可以走1、2或3层台阶，最终到达第10层台阶的方案数有多少种？”
然后小明开始思考：
从第0层台阶走到第0层台阶的方案数一共有1种（因为小明现在就站在第0层台阶上，所以它不需要懂就能到达第0层台阶，也就是说只有1种方案）。
从第0层台阶走到第1层台阶的方案数一共有1种：
    0 --> 1 （表示从第0层台阶走到第1层台阶，下同）
从第0层台阶走到第2层台阶的方案数一共有2种：
    0 --> 2 （表示直接从第0层台阶跨到了第2层台阶）
    0 --> 1 --> 2 （表示先从第0层台阶跨到了第1层台阶，再从第1层台阶跨到了第2层台阶）
从第0层台阶走到第3层台阶的方案数一共有4种：
    0 --> 3
    0 --> 2 --> 3
    0 --> 1 --> 3
    0 --> 1 --> 2 --> 3
从第0层台阶走到第4层台阶的方案数一共有7种：
    0 --> 3 --> 4
    0 --> 2 --> 3 --> 4
    0 --> 1 --> 3 --> 4
    0 --> 1 --> 2 --> 3 --> 4
    0 --> 2 --> 4
    0 --> 1 --> 2 --> 4
    0 --> 1 --> 4
……
小明非常仔细地列举出了从第0层台阶到第0、1、2、3、4层台阶的所有方案数，但是当小明开始列举从第0层台阶到第5层台阶的时候他戛然而止。“不行，这不是我理想种解决问题的方案。如果按照这种方案算到第10层，不仅容易漏掉方案导致算错，还会花费大量时间，在课间十分钟的时间内我是绝对算不完的！”
于此同时，小明也发现了方案数之间的规律。
假设F(i)表示小明从第0层台阶走到第i层台阶的方案数，那么，可以得出下面的规律：
    F(0) = 1
    F(1) = F(0) = 1
    F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 1 = 2
而对于所有满足3<=n<=10的n来说，可以得到：
    F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3)
于是，我们可以按照这个公式来得出解决方案如下：
    F(3) = F(2) + F(1) + F(0) = 2 + 1 + 1 = 4
    F(4) = F(3) + F(2) + F(1) = 4 + 2 + 1 = 7
    F(5) = F(4) + F(3) + F(2) = 7 + 4 + 2 = 13
    F(6) = F(5) + F(4) + F(3) = 13 + 7 + 4 = 24
    F(7) = F(6) + F(5) + F(4) = 24 + 13 + 7 = 44
    F(8) = F(7) + F(6) + F(5) = 44 + 24 + 13 = 81
    F(9) = F(8) + F(7) + F(6) = 81 + 44 + 24 = 149
    F(10) = F(9) + F(8) + F(7) = 149 + 81 + 44 = 274
于是，小明在上课预备铃想的那一刻，计算出了从第0层台阶到第10层台阶的方案数是274种，开开心心地去上课了。

趁小明去上课的时间，在这里和大家简要地阐述一下小明解决爬楼梯问题地算法，那就是“动态规划”了。
拿爬楼梯地问题来说，我们把到达某一层楼梯都设为一种状态，用F(i)来表示从第0层台阶爬到第i层台阶地方案数，那么我们可以发现，F(i)和F(i-1)、F(i-2)以及F(i-3)都是有联系的，进一步推敲他们之间的关系，我们便可以得出下面的公式：
    F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3)
像这样的公式我们一般把它叫做“状态转移方程”，而像这种一般可以用状态转移方程进行求解问题的方法我们就把它们称为“动态规划”了。
现在，你是不是对动态规划有了一个大致的了解了呢:)

求解上述问题的C++代码：

#include <cstdio>
int f[11];
int main()
{
    f[0] = f[1] = 1;
    f[2] = f[1] + f[0];
    for (int i = 3; i <= 10; i ++)
    {
        f[i] = f[i-1] + f[i-2] + f[i-3];
    }
    printf("%d\n", f[10]);
    return 0;
}