欧拉-拉格朗日方程

    研究过程中常用到能量极小化的思想，相当于泛函的极值问题。求解可以使用变分法，因此变分法的关键定理Euler-Lagrange方程是经典的能量极小化的求解方法。[其他还有哪些方法??]

    [转自wiki] 欧拉-拉格朗日方程对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。但是它并不能分辨是找到了最大值或者最小值或者两者都不是。在理想的情形下，函数的极大值及极小值会出现在其导数为0的地方，同样的，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。方程的具体形式 ：

    第一方程：

    若$\vec{y}'(x)\in(C^1[a, b])^n$，使得泛函 $J(\vec{y})=\int_a^bf(x, \vec{y}, \vec{y}')dx$ 取得局部平稳值，则在区间 $(a,\ b)$ 內對於所有的 $ i=1,\ 2,\ \ldots,\ n$ ，皆有:

    $\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')=\frac{\partial}{\partial y_i}f(x, \vec{y}, \vec{y}')$

    第二方程：

    设 $f=f(x,\ y,\ z)$ ，及 $f_y,\ f_z$ 在 $[a,\ b]\times\mathbb{R}^2$ 中連續，若 $y\in C^1[a,\ b]$ 使得泛函 $J(y)=\int_a^b f(x, y(x), y'(x))dx$ 取得局部平穩值，則存在一常數 $C$ ，使得:

    $f(x, y, y')-y'(x)f_{y\,'}(x, y, y')=\int_a^x f_x(x(t), y(t), y'(t))dt+C$

    注意，欧拉-拉格朗日方程式极值的必要条件，并非充分条件。

    解释一下为什么可以使用变分法来求解能量极小的问题。这是由于，当能量函数包含微分时，可以用变分方法推导其证明过程。简单的说，证明思路是：假设当前的函数（即真实解）已知，那么这个解必然使能量函数取全局最小值。换言之，在此真实解上加入任何扰动，都会使能量函数变大。当扰动的能量趋于0时，能量函数关于扰动的导数就是0.关键问题是扰动如何表示，才能便于上述过程的实现呢？答案就是扰动被表示成一个幅度很小的连续函数乘以一个扰动因子a,当a趋于0时意味着扰动的能量趋于0，这时能量泛函对a求导等于0就等价于能量泛函对扰动求导等于0。不得不承认这时一个非常绝妙的问题转化，把对函数的求导变为对单变量的求导。然后再利用变分算子的基本引理，就可以证明了。[维基百科有详细的证明?? 没找到]