【高精度】模板 (C++)
//n为长度
1、高精加
复杂度：O(n)
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加 { string ans; int na[L]={0},nb[L]={0}; int la=a.size(),lb=b.size(); for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; int lmax=la>lb?la:lb; for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10; if(na[lmax]) lmax++; for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; return ans; } int main() { string a,b; while(cin>>a>>b) cout<<add(a,b)<<endl; return 0; }
2、高精减
复杂度：O(n)
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数 { string ans; int na[L]={0},nb[L]={0}; int la=a.size(),lb=b.size(); for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; int lmax=la>lb?la:lb; for(int i=0;i<lmax;i++) { na[i]-=nb[i]; if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--; } while(!na[--lmax]&&lmax>0) ;lmax++; for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; return ans; } int main() { string a,b; while(cin>>a>>b) cout<<sub(a,b)<<endl; return 0; }
3、高精乘
复杂度：O(n*n)
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数 { string s; int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积 fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0 for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数 for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0'; for(int i=1;i<=La;i++) for(int j=1;j<=Lb;j++) nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位） for(int i=1;i<=La+Lb;i++) nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位 if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0 for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--) s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串 return s; } int main() { string a,b; while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl; return 0; }
4、高精除/模
复杂度：O(n*n)
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) { if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1 if(La==Lb) { for(int i=La-1;i>=0;i--) if(a[i]>b[i]) break; else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1 } for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法 { a[i]-=b[i]; if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--; } for(int i=La-1;i>=0;i--) if(a[i]) return i+1;//返回差的位数 return 0;//返回差的位数 } string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数 { string s,v;//s存商,v存余数 int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度 fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0 for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0'; for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0'; if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) { //cout<<0<<endl; return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数 int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差 for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍 if(i>=t) b[i]=b[i-t]; else b[i]=0; Lb=La; for(int j=0;j<=t;j++) { int temp; while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减 { La=temp; r[t-j]++; } } for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位 while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的 while(i>=0) s+=r[i--]+'0'; //cout<<s<<endl; i=tp; while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span> while(i>=0) v+=a[i--]+'0'; if(v.empty()) v="0"; //cout<<v<<endl; if(nn==1) return s; if(nn==2) return v; } int main() { string a,b; while(cin>>a>>b) cout<<div(a,b,1)<<endl; return 0; }
5、高精阶乘
复杂度：O(n*n)
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=100005; int a[L]; string fac(int n) { string ans; if(n==0) return "1"; fill(a,a+L,0); int s=0,m=n; while(m) a[++s]=m%10,m/=10; for(int i=n-1;i>=2;i--) { int w=0; for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10; while(w) a[++s]=w%10,w/=10; } while(!a[s]) s--; while(s>=1) ans+=a[s--]+'0'; return ans; } int main() { int n; while(cin>>n) cout<<fac(n)<<endl; return 0; }
6、高精度幂
复杂度：O(nlognlogm)
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <queue> #include <set> #include <vector> using namespace std; #define L(x) (1 << (x)) const double PI = acos(-1.0); const int Maxn = 133015; double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2]; int sum[Maxn]; int x1[Maxn],x2[Maxn]; int revv(int x, int bits) { int ret = 0; for (int i = 0; i < bits; i++) { ret <<= 1; ret |= x & 1; x >>= 1; } return ret; } void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) { int bits = 0; while (1 << bits < n) ++bits; for (int i = 0; i < n; i++) { int j = revv(i, bits); if (i < j) swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]); } for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) { int half = len >> 1; double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len); if (rev) wmy = -wmy; for (int i = 0; i < n; i += len) { double wx = 1, wy = 0; for (int j = 0; j < half; j++) { double cx = a[i + j], cy = b[i + j]; double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half]; double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx; a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey; a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey; double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx; wx = wnx, wy = wny; } } } if (rev) { for (int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n, b[i] /= n; } } int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) { int len = max(na, nb), ln; for(ln=0; L(ln)<len; ++ln); len=L(++ln); for (int i = 0; i < len ; ++i) { if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0; else ax[i] = a[i], ay[i] = 0; } fft(ax, ay, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0; else bx[i] = b[i], by[i] = 0; } fft(bx, by, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i]; double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i]; ax[i] = cx, ay[i] = cy; } fft(ax, ay, len, 1); for (int i = 0; i < len; ++i) ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5); return len; } string mul(string sa,string sb) { int l1,l2,l; int i; string ans; memset(sum, 0, sizeof(sum)); l1 = sa.size(); l2 = sb.size(); for(i = 0; i < l1; i++) x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0'; for(i = 0; i < l2; i++) x2[i] = sb[l2-i-1]-'0'; l = solve(x1, l1, x2, l2, sum); for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位 { sum[i + 1] += sum[i] / 10; sum[i] %= 10; } l = i; while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 检索最高位 for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出 return ans; } string Pow(string a,int n) { if(n==1) return a; if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a); string ans=Pow(a,n/2); return mul(ans,ans); } int main() { cin.sync_with_stdio(false); string a; int b; while(cin>>a>>b) cout<<Pow(a,b)<<endl; return 0; }
7、高精GCD
复杂度：无法估计
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int L=110; string add(string a,string b) { string ans; int na[L]={0},nb[L]={0}; int la=a.size(),lb=b.size(); for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; int lmax=la>lb?la:lb; for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10; if(na[lmax]) lmax++; for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; return ans; } string mul(string a,string b) { string s; int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积 fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0 for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数 for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0'; for(int i=1;i<=La;i++) for(int j=1;j<=Lb;j++) nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位） for(int i=1;i<=La+Lb;i++) nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位 if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0 for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--) s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串 return s; } int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) { if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1 if(La==Lb) { for(int i=La-1;i>=0;i--) if(a[i]>b[i]) break; else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1 } for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法 { a[i]-=b[i]; if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--; } for(int i=La-1;i>=0;i--) if(a[i]) return i+1;//返回差的位数 return 0;//返回差的位数 } string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数 { string s,v;//s存商,v存余数 int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度 fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0 for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0'; for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0'; if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) { //cout<<0<<endl; return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数 int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差 for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍 if(i>=t) b[i]=b[i-t]; else b[i]=0; Lb=La; for(int j=0;j<=t;j++) { int temp; while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减 { La=temp; r[t-j]++; } } for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位 while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的 while(i>=0) s+=r[i--]+'0'; //cout<<s<<endl; i=tp; while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span> while(i>=0) v+=a[i--]+'0'; if(v.empty()) v="0"; //cout<<v<<endl; if(nn==1) return s; if(nn==2) return v; } bool judge(string s)//判断s是否为全0串 { for(int i=0;i<s.size();i++) if(s[i]!='0') return false; return true; } string gcd(string a,string b)//求最大公约数 { string t; while(!judge(b))//如果余数不为0，继续除 { t=a;//保存被除数的值 a=b;//用除数替换被除数 b=div(t,b,2);//用余数替换除数 } return a; } int main() { cin.sync_with_stdio(false); string a,b; while(cin>>a>>b) cout<<gcd(a,b)<<endl; return 0; }
8、高精进制转换
复杂度：O(n*n)
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; //将字符串表示的10进制大整数转换为m进制的大整数 //并返回m进制大整数的字符串 bool judge(string s)//判断串是否为全零串 { for(int i=0;i<s.size();i++) if(s[i]!='0') return 1; return 0; } string solve(string s,int n,int m)//n进制转m进制只限0-9进制，若涉及带字母的进制，稍作修改即可 { string r,ans; int d=0; if(!judge(s)) return "0";//特判 while(judge(s))//被除数不为0则继续 { for(int i=0;i<s.size();i++) { r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商 d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出余数 } s=r;//把商赋给下一次的被除数 r="";//把商清空 ans+=d+'0';//加上进制转换后数字 d=0;//清空余数 } reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下 return ans; } int main() { string s; while(cin>>s) { cout<<solve(s,10,7)<<endl; } return 0; }
9、高精平方根
复杂度：O(n*n*n)
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int L=2015; string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加 { string ans; int na[L]={0},nb[L]={0}; int la=a.size(),lb=b.size(); for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; int lmax=la>lb?la:lb; for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10; if(na[lmax]) lmax++; for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; return ans; } string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数 { string ans; int na[L]={0},nb[L]={0}; int la=a.size(),lb=b.size(); for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0'; for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0'; int lmax=la>lb?la:lb; for(int i=0;i<lmax;i++) { na[i]-=nb[i]; if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--; } while(!na[--lmax]&&lmax>0) ;lmax++; for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0'; return ans; } string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数 { string s; int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积 fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0 for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数 for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0'; for(int i=1;i<=La;i++) for(int j=1;j<=Lb;j++) nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位） for(int i=1;i<=La+Lb;i++) nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位 if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0 for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--) s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串 return s; } int sub(int *a,int *b,int La,int Lb) { if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1 if(La==Lb) { for(int i=La-1;i>=0;i--) if(a[i]>b[i]) break; else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1 } for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法 { a[i]-=b[i]; if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--; } for(int i=La-1;i>=0;i--) if(a[i]) return i+1;//返回差的位数 return 0;//返回差的位数 } string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数 { string s,v;//s存商,v存余数 int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度 fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0 for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0'; for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0'; if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) { //cout<<0<<endl; return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数 int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差 for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍 if(i>=t) b[i]=b[i-t]; else b[i]=0; Lb=La; for(int j=0;j<=t;j++) { int temp; while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减 { La=temp; r[t-j]++; } } for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位 while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的 while(i>=0) s+=r[i--]+'0'; //cout<<s<<endl; i=tp; while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span> while(i>=0) v+=a[i--]+'0'; if(v.empty()) v="0"; //cout<<v<<endl; if(nn==1) return s; if(nn==2) return v; } bool cmp(string a,string b) { if(a.size()<b.size()) return 1;//a小于等于b返回真 if(a.size()==b.size()&&a<=b) return 1; return 0; } string BigInterSqrt(string n) { string l="1",r=n,mid,ans; while(cmp(l,r)) { mid=div(add(l,r),"2",1); if(cmp(mul(mid,mid),n)) ans=mid,l=add(mid,"1"); else r=sub(mid,"1"); } return ans; } string DeletePreZero(string s) { int i; for(i=0;i<s.size();i++) if(s[i]!='0') break; return s.substr(i); } int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); // freopen("out.txt","w",stdout); string n; int t; cin>>t; while(t--) { cin>>n; n=DeletePreZero(n); cout<<BigInterSqrt(n)<<endl; //cout<<BigInterSqrt(n).size()<<endl; } return 0; }
10、FFT优化高精乘
复杂度：O(nlogn)
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <queue> #include <set> #include <vector> using namespace std; #define L(x) (1 << (x)) const double PI = acos(-1.0); const int Maxn = 133015; double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn]; char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2]; int sum[Maxn]; int x1[Maxn],x2[Maxn]; int revv(int x, int bits) { int ret = 0; for (int i = 0; i < bits; i++) { ret <<= 1; ret |= x & 1; x >>= 1; } return ret; } void fft(double * a, double * b, int n, bool rev) { int bits = 0; while (1 << bits < n) ++bits; for (int i = 0; i < n; i++) { int j = revv(i, bits); if (i < j) swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]); } for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) { int half = len >> 1; double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len); if (rev) wmy = -wmy; for (int i = 0; i < n; i += len) { double wx = 1, wy = 0; for (int j = 0; j < half; j++) { double cx = a[i + j], cy = b[i + j]; double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half]; double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx; a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey; a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey; double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx; wx = wnx, wy = wny; } } } if (rev) { for (int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n, b[i] /= n; } } int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[]) { int len = max(na, nb), ln; for(ln=0; L(ln)<len; ++ln); len=L(++ln); for (int i = 0; i < len ; ++i) { if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0; else ax[i] = a[i], ay[i] = 0; } fft(ax, ay, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0; else bx[i] = b[i], by[i] = 0; } fft(bx, by, len, 0); for (int i = 0; i < len; ++i) { double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i]; double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i]; ax[i] = cx, ay[i] = cy; } fft(ax, ay, len, 1); for (int i = 0; i < len; ++i) ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5); return len; } string mul(string sa,string sb) { int l1,l2,l; int i; string ans; memset(sum, 0, sizeof(sum)); l1 = sa.size(); l2 = sb.size(); for(i = 0; i < l1; i++) x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0'; for(i = 0; i < l2; i++) x2[i] = sb[l2-i-1]-'0'; l = solve(x1, l1, x2, l2, sum); for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位 { sum[i + 1] += sum[i] / 10; sum[i] %= 10; } l = i; while(sum[l] <= 0 && l>0) l--; // 检索最高位 for(i = l; i >= 0; i--) ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出 return ans; } int main() { cin.sync_with_stdio(false); string a,b; while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl; return 0; }
