朴素贝叶斯（Naive Bayes）
朴素贝叶斯（Naive Bayes）
1.模型
在GDA 中，我们要求特征向量 x 是连续实数向量。如果 x 是离散值的话，可以考虑采用朴素贝叶斯的分类方法。
以垃圾邮件分类为例子，采用最简单的特征描述方法，首先找一部英语词典，将里面的单词全部列出来。然后将每封邮件表示成一个向量，向量中每一维都是字典中的一个词的 0/1值，1 表示该词在邮件中出现，0 表示未出现。
比如一封邮件中出现了“ a”和“ buy”，没有出现“ aardvark”、“ aardwolf”和“ zygmurgy”，
那么可以形式化表示为：
如果像GDA那么去建模的话，那么特征向量x是服从一个多项式分布，如果有5000个单词的话，那么x就有2^5000种可能，建模就需要2^5000-1个参数，参数太多。因此，需要在建模中改变假设，朴素贝叶斯模型不对特征向量x作出假设，而是对它的每个分量xi进行假设，并且假设各个分量之间独立。
朴素贝叶斯模型对特征向量x的各个分量xi和y有如下假设：
因此我们得到：
这里只需要5000个参数，远少于之前所需的参数个数。
2.评价
该模型的对数似然函数如下：
3.优化
对各个参数进行求导后令等式为0，得到：
当然，朴素贝叶斯方法可以扩展到 x 和 y 都有多个离散值的情况。对于特征是连续值的情况，我们也可以采用分段的方法来将连续值转化为离散值，这时xi|y就是服从多项分布而不是伯努利分布了。具体怎么转化能够最优，我们可以采用信息增益的度量方法来确定。
