【NOI2014】动物园
这道题因为自己把1000000007写成了100000007而浪费了三个小时，所以告诫自己：数一下几位！数一下几位！数一下几位！
先贴代码~
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #define mod 1000000007 //该看眼科了... 4 #define LL long long 5 int next[1000005],cnt[1000005],n; 6 LL ans; //cnt[i]表示前i个字符公共前后缀的数目，包括自己！也就是说cnt[i]至少为1(i!=0)（至于为什么要这样做，在（2）中解释） 7 char s[1000005]; 8 void getcnt(int l){ //getcnt:获取常规的next[]，同时得到cnt[] ——（#） 9 next[0]=-1; 10 cnt[0]=0; 11 int i=0,k=-1; 12 while(i<l){ 13 while(k>=0&&s[k]!=s[i]) k=next[k]; 14 i++,k++; 15 next[i]=k; 16 cnt[i]=cnt[k]+1; 17 } 18 } 19 void solve(int l){ //solve:大体上是再求一遍next[]的过程，每次可以得到要求的num[]，这里有两个问题： 20 ans=1; //1.为什么不能在最外层while每次开始的时候用k=next[i],而要再像求next[]那样求一遍,直接用不会更快吗？ ——（1） 21 int k=-1,i=0; 22 while(i<l){ //2.num[i]是怎样通过cnt[i]得到的？ ——（2） 23 while(k>=0&&s[k]!=s[i]) k=next[k]; 24 k++,i++; 25 while(2*k>i) k=next[k]; 26 ans=ans*(LL)(cnt[k]+1)%mod; 27 } 28 printf("%lld\n",ans); 29 } 30 int main() 31 { 32 scanf("%d",&n); 33 while(n--){ 34 scanf("%s",s); 35 int l=strlen(s); 36 getcnt(l); 37 solve(l); 38 } 39 }
现在来一一解释上面的三个地方。
题目要求的是数量，自然就可以想到next[]数组的意义：最长公共前后缀长度，也就是next[i]即前i个字符的最长公共前后缀长度。
现在我们假定对i已经知道了next[i]（现在只把它看成一个数字），注意到前i个字符的前next[i]个和后next[i]个字符是相等的，我们要求的是所有的公共前后缀，既然next[i]是最长的一个，又注意到next[next[i]]是前next[i]个字符的最长公共前后缀，从而我们可以推出，前i个字符中的前next[next[i]]和后next[next[i]]个字符也是相同的。也就说，我们可以递推地求解前i个字符的公共前后缀数量，由于next[]数组的最长性质，我们保证一定可以取遍所有的公共前后缀。实际上这也是用next[]数组求解周期串问题的核心思想。
现在我们可以解答（#）了，假设我们已经知道k=next[i]（始终把next[i]看成一个数字，就像定积分是一个数字一样(逃...）和前i-1个字符每个字符的cnt[]值（这个是我们递推的依据），从而可以得到：
cnt[i]=cnt[k]+1
cnt[k]是好理解的，就是前k个字符的所有公共前后缀数量（也就是我们现在查考的前i个字符的最长公共前后缀[0,...,k-1]的公共前后缀数量），由上面的分析我们知道了，前k个字符的公共前后缀就是前i个字符的公共前后缀，再加上前i个字符本身（为什么要加自己？这样不就不满足长度不超过i/2了吗？这个问题留到（2）解答），就得到了上面的递推式，从而可以通过初始化cnt[0]=0（显然不存在前0个字符这种说法的嘛）而得到所有的cnt[i]，1<=i<=strlen(s)
下面来解答（1）和（2）这两个问题。
问题（1）其实是比较好回答的，如果每次循环开始都直接用k=next[i]，也就是先得到之前求出的最长公共前后缀，那么显然k是可能很大的，这时候要把它减少到<=i/2的长度可能需要经过很长的步骤（不妨就考虑单个字符序列aaaaaaaaaaaaa……,它浪费在k上的时间是巨大的）！也就是说，我们再一次从开头进行一遍求next[]的过程其实并不是重复求next[]值（注意到在求next[]的过程中，我们始终是在维护最大的k值），而是类似的，维护最大的k'值，这个值，也就是不超过i/2且是前i个字符的最长公共前后缀长度（注意是<=i/2，而不是next[i]，因为next[i]没有限定长度）。同样的仿照next[]的求法，我们当然可以递推地求出每一个i对应的k'值。
问题（2）就是如何维护k'（下面对这个k'就用k表示），从而能求出num[]。假如我们已经求出了num[i-1]，从（1）可以看出，它比next[]的k多限制了一个长度不超过i/2的条件，于是就可以像求next[i]那样一直递推到满足s[i]==s[k]||k>=0为止，这时候如果2*k>i，那么就违反了上述限制，从而还要继续令k=next[k],直到2*k<=i（还记得吗，next[next[k]]也是前i个字符的前后缀）,这里就出现了在（1）中提到的效率问题。由于在i-1时k已经满足2*k<=i了，就算再多加一个字符，也至多再进行一次k=next[k]就能把长度控制在2*k<=i中，所以说，把第25行的while改为if也是可以的！那么为什么这样求出来的k对应的cnt[k]就是要求的num[i]的值呢？还记得我们的cnt[i]是包含了整个长度为i的串吗？这个问题请自己思考。
