【11.19 NOIP模拟赛】总结

【11.19 NOIP模拟赛】总结#

T1 集合#

给定 $n$，求 $\{1...n\}$ 所有非空子集的和的积。

$n\le 200$

DP 求和为 $i$ 的方案数 $f_i$，答案为 $\prod _{i=1}^{n(n+1)/2}{i}^{f_i}$

注意 $f_i$ 为指数，应对 $P-1$ 取模（费马小定理）

T2 出租#

有 $n$ 栋楼，每栋楼有 $k$ 个房间，有 $m$ 次操作，每次操作加入或移除 $y_i$ 个理想位置为 $x_i$ 的人，这 $y_i$ 个人必须安排在 $[x_i,x_i+d]$ 的楼中，问每次操作后存不存在合法方案。

$1\le n,m,d\le 5\times {10}^5,0\le k,y\le {10}^9,1\le x\le n-d$

一道很厉害的猜结论题（那么是谁场上想了将近两个小时呢）

不难发现无解的一个充分条件：$\sum v_i>n\times k$

这样约束性显然太弱了，那么先区间缩小看看？

一个区间 $[l,r]$ 无解的充分条件：$\sum _{i=l}^r{v}_i>(r-l+1+d)\times k$

注意： 区间内靠右的人可以放在区间外面的 $d$ 个位置，所以要 $+d$

然而这样的约束还是太弱了，不妨猜测：

当前局面无解，当且仅当 存在子区间 $[l,r]$，满足：$\sum _{i=l}^r{v}_i>(r-l+1+d)\times k$

看起来又对又不对的，然而自己手搓几个样例，会发现举不出反例（）

于是就好做了，移项得：$\sum _{i=l}^r(v_i-k)>k\times d$

那么线段树维护一下最大子段和就做完了 qwq

T3 连通块#

求一颗树的最大权连通块，但必须满足 $m$ 条形如 ” $u,v$ 的 $dfs$ 序在连通块内不能连续 “ 的限制条件。

每个点的儿子遍历顺序给定，$n\le {10}^5,m\le 21,|v_i|\le {10}^9$

首先讲下 80pts（保证树随机生成）的神仙做法：（后面有图）

什么意思呢？就是拆点后把连通块的 dfs 序转化成一个 DAG

对着图自行理解一下，总复杂度 $O(nm\log n)$ 级别

接下来是正解：

设 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 子树内，最后一个 $dfs$ 序为 $j$ 的答案。

直接上图吧

所以我们可以直接这么转，类似于树形背包，对于每个顺序遍历的儿子 $v$：

$$f_{u,i}=max(f_{u,i},max\{f_{u,j}+f_{v,i}|\text{the (i, j) is legal}\})$$

dp 中直接记录 $n$ 个点的 $dfn$ 肯定是不行的，于是我们发现与约束条件无关的点我们并不关心，再注意到 $m$ 很小，于是可以 只给有约束点编号 （类似虚树），无关点编号 $0$。

时空复杂度 $O(nm)$，可以通过此题