【某NOIP模拟赛T2 - 旅游】--线段树优化 DP 的魅力

题意：

数轴上在起点 $s$ 和终点 $t$ 间的整点中有 $n$ 个关键点，第 $i$ 个关键点位置为 $c_i$，可获得 $m_i$ 的价值。你可以从起点开始，每次跳至多 $z$ 个点（跨过中间的点），而每到达一个 $s$ 以外的点需要支付 $a$ 的代价，求走到终点的最大价值。

$0\le s\le c_i\le t\le {10}^9,n\le {10}^5$

这种题目一眼 DP 好吧​

设 $f_i$ 表示前 $i$ 个关键点的答案，首先考虑 $O(n^2)$ 的暴力转移

$$f_i=min\{f_j+\lceil \frac{c_i-c_j}{D}\rceil \cdot a_i-m_i\}$$

然后有个蠢蛋打表打小了，以为满足决策单调性QwQ

发现优化的瓶颈在于这个烦人的上取整除法

众所周知，上下取整，取模之类的运算都可以拆成普通的运算

发现 $c_i,c_j$ 同时加 $k\cdot D$ 并不会影响上取整（即其相对大小关系）带来的贡献，那么我们不妨将这个取整拆开？

$c_i=k_i\cdot D+b_i$

成功将贡献转移到 $b_i,b_j$ 的大小关系上！

$$\begin{gathered} f_i=min\{f_j+(k_i-k_j+\lceil \frac{b_i-b_j}{D}\rceil )\cdot a_i\}-m_i \\ \because b_i,b_j\in [0,D)\therefore b_i-b_j\in (-D,D) \end{gathered}$$

这样我们就让烦人的上取整简化成 $[b_i>b_j]$ ，于是丢到以 $b_i$ 为下标的 最小值权值线段树 里去做就行了

总结：拆 DP 中难求的贡献？权值线段树！