浅谈二维数点#

1. 序列上的二维数点

这个问题显然是简单的，离线后按照 $x$ 排序后第一维扫描，第二位 $BIT$ 的二维偏序

时间复杂度 $O(n\log n)$，空间复杂度 $O(n)$

那么如果在线呢？😕

经典的主席树问题，以下标为版本，建可持久化线段树

时间复杂度 $O(n\log n)$，空间复杂度 $O(n\log n)$

2.树上二维数点（子树的交）

对于两棵树，若我们想求出其上两个子树的节点交，其实将树拍扁成 $dfs$ 序后，是和序列上的二维数点等价的

但对于某些题目，有些更为巧妙的做法

P9196 [JOI Open 2016] 销售基因链

给定 $n$ 个字符串，$m$ 次询问，每次求同时以 $S$ 为前缀，$T$ 为后缀的字符串有多少

$n,m,\sum |s_i|,\sum |S|,\sum |T|\le 2\times {10}^6$

做法：建出正反两个 Trie，求其询问串对应的两个子树的交

离线。将 $s_i$ 升序排序，把每个询问的 $S$ ，用正 Trie 映射到 $[1,n]$ 上的一个区间，再按降序排序，做扫描线即可。这种做法无需 $BIT$

3.带修二维数点

首先在线可以树套树（带修主席树）时间 $O(n{\log }^{2}n)$

离线可以 CDQ 分治，增加时间维度，变成三维偏序 $O(n{\log }^{2}n)$