上午：正睿场NOIP20连T1T2合并 😉#

T1：上升序列#

给定 $n\times m$ 矩阵，其中每行行内单调不降，在每一行选一个数，求组成单调不降序列方案数

$n\le 100,m\le {10}^4$

简单DP，因为每行已经排好序，故双指针转移即​​可✌️ ​

T2：划分#

给定序列 $A,B,C$ ，求一个划分方案 $d$ 使得 $mi{n}_i\{\sum _{i=d_{i-1}+1}^{d_i}{a}_i+b_{d_{i-1}+1}+c_i\}$ 最大

$n\le 2\times {10}^5$

sol1:

因为题目中出现 最小值最大 的字眼，考虑二分答案
$O(n)$ 扫一遍，因为我们只关心 是否存在 段最小值不小于 $mid$ 的划分，故每次若 $s_i+c_i-min-mid\ge 0$，则该右端点合法，更新 $s_i-b_{i+1}$ 的最小值，即更新后面的可选左端点。

sol2:

非常高贵的线段树优化DP​
直接设 $d{p}_i$ 表示划分前 $i$ 个的答案，首先有：

考虑分讨拆开其中的 $min$：

那么我们将 $s_j+d{p}_j-b_{j+1}$ 丢到权值线段树里去，已 $s_i+c_i$ 为分界点，一半查询 $d{p}_j$ 的最大值，另一半查询 $b_{j+1}-s_j$ 的最大值

T3： 风・珍珠#

$n$ 个物品，代价为 $x_i\times v_i$，价值为 $v_i$，进行 $m$ 次操作，每次可以删去一个物品，或询问代价和至多为 $k$ 的最大价值

$n,k_{max}\le 2\times {10}^6,m\le 5\times {10}^3$，$x_i$ 严格递增

首先看到这个 “背包” 的不同寻常之处：代价为 $x_i\times v_i$，很谜的一个乘积😵

那么我们先考虑不带修改的：

不难发现”性价比“即为：$\frac{val}{cost}=\frac{v_i}{x_i{v}_i}=\frac{1}{x}$

那么我们将 $x$ 降序排序后，设 $d{p}_i$ 为 总价值为$i$的最小代价，便注意到此时物品 $i$ 至多只能提供 $\frac{k}{x}$ 的价值，故我们的状态数是调和级数的，故复杂度 $O(n\log k)$，$40pts$

于是对于一般情况，删点变加点。因为加点顺序不变，没有了前文中 $x_i$ 的单调性，怎么办呢 > ʌ <

那么拿出高贵的根号分治！阈值设为 $B$，将物品分为 $x_i<B$ 与 $x_i>B$ 两类

1. 对于 $x_i\le B$ ，因为 $x_i$ 严格递增，故这一类之多只有 $B$ 个物品，正常暴力 DP 复杂度 $O(Bk)$
2. 对于 $x_i>B$ ，先排序预处理出初始背包，每次加入暴力维护背包， $O(n\log k+\frac{mk}{B})$ 。每次查询时需要合并两种 “代价“ 定义不同的背包，可以枚举在 $x_i>B$ 中希望得到的价值，$O(\frac{mk}{B})$ 合并。

根号平衡，取 $B=O(\sqrt{m})$ 时最优，$O(n\log k+k\sqrt{m})$

T4：花・焦骨#

需要在 $n\times n$ 的矩阵内的 $m$ 个位置填上非负整数，并满足第 $i$ 行最大值恰为 $a_i$，第 $i$ 列最大值恰为 $b_i$ ，求最小的数字和

$n\le 2500,m\le 8\times {10}^5,1\le max(a_i,b_i)\le {10}^6$

$[0,k]$ 的每个限制值在行/列的限值中至多出现 $100$ 次

首先容易发现，每次只用填最大值！

但对于一个位置 $(x,y)$ ，若 $a_x\ne b_y$ 则在此放置其较小值后，另外一个限制仍需另外选一个点来满足

发现这样代价为两个点，显然不优。较优的是在两个限制相同的行列交点处放置。

咦？一个交点可以覆盖两个限制条件，这不就是匹配吗？

那么我们尝试做二分图最大匹配，左部点为行，右部点为列，两限制值相同时两部分连边，那么其最大匹配的权值就是我们省下来的权！

建图后跑 dinic ，$O(n{c}^2)$，本题 $c\ge 100$，可以通过此题。