Python基本算法实现及总结归纳

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目录

• 冒泡排序
• 快速排序
• 插入排序
• 选择排序
• 希尔排序
• 归并排序
• 各个算法的时间复杂度
• 附：二分法

冒泡排序

这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端（升序或降序排列），就如同碳酸饮料中二氧化碳的气泡最终会上浮到顶端一样，故名“冒泡排序”。

原理：比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（小），就交换他们的顺序。针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。最后的元素会是最大（小）的数。

步骤：
1、因为每轮都要交换，最后一组是第 len(arr)-1个和第 len(arr)个，最后一个后面没有再需要比较的，所以共交换 len(arr)-1轮。
2、而每次比较完，最大的数都会被推到最后面，所以每轮遍历可以减去1。
3、这里举例为升序，当i0（以下所以i+num，都代表索引为num）比i1大，就交换这两个数的位置，依次类推，最后一组是第 len(arr)-1个和第 len(arr)个。每次遍历一次，当前最大的已经被推到了最后，所以最后这个不需要再被比较了，需要被比较的遍历的 len(arr)-1个，最后一组是第 len(arr)-2个和第 len(arr)-1个

def bubble_sort(arr):
    # i范围为1~n,j
    for i in range(1, len(arr)):
        for j in range(0, len(arr)-i):
            if arr[j] > arr[j+1]:
                arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]
    return arr

打印一下结果可以只看红框的部分，后面都是一个道理：

1、第一轮遍历，45和66比较跳过，66和21比较，66比21大所以调换位置，如此类推，一直到最后一个22被推到前面。
2、而原本在前面的66，因为是最大的数字已经被推到了最后，不需要再被比较，所以第二轮遍历的时候，遍历次数可以减1。以此类推，每一轮从头开始遍历的时候，遍历的次数又可以再减1。

为了更直观的显示过程，在代码里添加了几处print()，在输出字符串前加f，可以直接在{}里调用命令或变量，不必format和%s：

快速排序

快速排序使用分治法策略来把一个串行（list）分为两个子串行（sub-lists）。
本质上来看，快速排序应该算是在冒泡排序基础上的递归分治法。
虽然快速排序的最坏运行情况是 O(n²)，比如说顺序数列的快排。但是在大多数情况下都比平均时间复杂度为 O(n logn) 的排序算法表现要更好，它的平摊期望时间是 O(nlogn)，且 O(nlogn) 记号中隐含的常数因子很小，比复杂度稳定等于 O(nlogn) 的归并排序要小很多。
所以，对绝大多数顺序性较弱的随机数列而言，快速排序总是优于归并排序。

原理及步骤：
1、从数组中挑一个基准数pivot，一般选择第一个；
2、然后将所有数与pivot对比，比它大和比它小的分别放在两个新列表，然后通过把pivot放在中间重新组建成一个新列表；
3、根据递归依次重复1和2。

def qsort(seq):
    if isinstance(seq, list) and not seq:
        return seq
    else:
        pivot = seq[0]
        lesser = qsort([x for x in seq[1:] if x < pivot])
        greater = qsort([x for x in seq[1:] if x >= pivot])
        return lesser + [pivot] + greater

• 用+的方式连接，当非递归时确实比extend慢，但递归时，+比较快
  结果如下
  

乍一看这个结果好像云里雾里的，解释一下：

1、首先，第一个pivot是45，比它大的lesser本应该为[21,34,9,2,28,17,24,36,34,22]，比它大的greater本来为[66,56]。然后注意lesser和这里greater都递归了自身qsort，没有结束，所以一开始没有返回结果。
2、这时对lesser里的21和其他数字又进行了一轮比较，此时得到新的lesser为[9,2,17]，新的greater为[34,28,24,36,34,22]，仍旧不输出。
3、然后这里又进入新的递归，lesser为[2]，greater为[17]。
4、所以每一轮递归pivot都是新的lesser的第一个数，分别为45,21,9,2。
5、而17和2同级，所以处理完lesser的[2]就会处理为greater的[17]。
同理，根据这个逻辑看结果就很清晰了。

插入排序

原理：把整个数组拆分为有序区间和未排序区间，有序一开始只有一个，就是第一个元素，其他则为未排序区间。
对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。
在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

举例（i表索引，数字为下标，i1不必考虑）：
1、比如从小到大排序， 将i3先与i2相比，如果i2比i3大，就把i2插入到i3后，其实就是i2和i3交换位置；
2、再将i3与i1相比，i1如果比i3大，就把i1插入到i3后； 如果相等，则将待插入元素插入到相等元素的后面。（至于相等的情况，在Python里仅单个数字而言，相同的数字意义几乎完全相同，虽说有说放在相同数字后面，我们不考虑这个）

优缺点：
缺点：插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位；
优点：插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率，但已经排好的，又何须还要算法再去排序，所以这个优点就几乎可以当没有了；
对此，后面有个希尔排序，是针对插入排序的一个优化排序。

• while版本代码：

def insert_sort(arr):
    # 从数列的第二个元素开始，依次取出，与它的前面的元素值作比较
    for i in range(1, len(arr)):
        # arr[i]为当前值，arr[i-1]为其前一个值，将二者相比，若后者比前者大，则交换位置
        while i >= 1 and arr[i] < arr[i-1]:
            arr[i-1], arr[i] = arr[i], arr[i-1]
            # 获取再前面的值的索引下标，实现当前值与其前面的值的循环比较
            i -= 1 
    return arr

• 使用for循环的实现

def insert_sort(arr):
    for i in range(1, len(arr)):
        for j in range(i, 0, -1):
            if arr[j] < arr[j - 1]:
                arr[j-1], arr[j]=arr[j], arr[j-1]
    return arr

得益于Python的两个变量的值可以直接交换而不必借助第三方变量，许多算法里的实现都很类似，比如这里for循环的代码和冒泡特别像，不同的是这里内层循环是倒序。

1、i为1的时候，因为66比45大，所以没有变化。
2、i为2的时候，21先和66比小交换位置，再和45比也小再交换，注意看j。

选择排序

原理：
根据升序或降序，
1、首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。
2、再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
3、 重复第二步，直到所有元素均排序完毕。

代码实现的时候，找到的最小元素后，所谓“存放到排序序列的起始位置”不是真正意义上实现insert之类操作的存放到起始位置。只是每轮遍历都借用一个临时存放最小数值索引的标志，然后找到一个比它更小的，然后跟它交换位置。

代码实现步骤（示例：升序）：
1、首先遍历找到最小的元素，第一个成为这个元素的是最先被遍历到的第0位，将它赋给一个变量比如min_index，作为一个标记，此时min_index=0。
2、然后再从第二位元素开始遍历，直到找到比min_index更小的值，使它取代之前的成为新的min_index，最后将这两位数进行交换。
3、第二轮遍历开始的时候，将第二位数的索引作为min_index，然后从第三位数之后开始遍历。如此每次交换之后，最前面都是以排好的序列，每次交换的新的min_index都被添加到了上一个min_index的末尾。以此类推，共len(arr)-1轮。

def select_sort(arr):
    if len(arr) < 2:
        return arr
    for i in range(len(arr)-1):
        min_index = i
        for j in range(i + 1, n):
            if arr[j] < arr[min_index]:
                min_index = j
        if min_index != i:
            arr[i], arr[min_index] = arr[min_index], arr[i]
    return arr

1、第一轮第一个45的min_index 索引为0，继续遍历直到找到2比45小，2的索引为5，然后交换他们的位置，此时列表为[2,66,21,34,9,45,56,28,17,24]；
2、进行第二轮遍历，第一位已经是最小的不必再遍历，所以从第二位66开始，默认min_index每次都是遍历最开始的这位，所以是1，直到找到除2以外最小的是9，此时的min_index为4。以此类推。

希尔排序

希尔排序是基于插入排序的改进，不同的是希尔排序先通过分组进行排序，直到分组增量为1 。

图片原理可以参考这张，我觉得特别清楚：https://www.dandelioncloud.cn/article/details/1515512897961775106

原理：
1、将待排序数组按照步长gap进行分组，然后将每组的元素利用直接插入排序的方法进行排序；
2、每次将gap折半减小，循环上述操作；当gap=1时，利用直接插入，完成排序。

示例步骤：
1、比如一个列表长度为10，则每次gap=len(arr)//2，此时gap为5；
2、然后将i0与i5比较大小，按照顺序将其对调位置；然后是i1与i6，以此类推，一直到i4与i9，该轮比较结束。
3、步骤2结束后，再将gap=gap//2，此时5//2得2，再将第一轮即步骤2排序后得到的列表，再按2的间隔比较大小，如i0与i2这样；
5、一直到gap为1结束。

def hill_shell(arr):
    # 前面说过，希尔排序是插入排序的优化，自然也是
    # 初始化gap值
    gap = int(len(arr) // 2)
    # 第一层循环:一次改变gap的值对列表进行分组
    while gap >= 1:
        # 从gap开始
        for i in range(gap, len(arr)):
            # 从i-gap 开始与选定元素开始倒序比较,每个比较元素之间间隔gap
            # i为5~9，j的i-gap为0~4，
            for j in range(i - gap, -1, -gap):
                if arr[j] > arr[j + gap]:
                    arr[j], arr[j + gap] = arr[j + gap], arr[j]
        gap = int(gap // 2)

归并排序

归并排序，是创建在归并操作上的一种有效的排序算法，效率为 O(n/ log n)。
该算法是采用分治法的一个非常典型的应用，且各层分治递归可以同时进行。

分治法:

• 分割：递归地把当前序列平均分割成两半。
• 集成：在保持元素顺序的同时将上一步得到的子序列集成到一起（归并）。

归并排序将两个或两个以上(一般是两个)有序的列表合并成一个新的有序列表。
待排序列表是无序的，使用二分法递归地将列表最终拆分成只有一个元素的子表， 只有一个元素的列表一定是有序的，此时递归往回合并，即可依次将待排序列表拆分然后合并成一个有序的列表。

这是我在其他地方看到的原理：
1、申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列。
2、设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置。
3、比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置。
4、使用递归重复步骤3直到某一指针到达序列尾。
5、将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。

在Python中并不需要自己去申请空间和指针，所以简化一下：
1、把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
2、对这两个子序列分别采用归并排序（递归调用，每次长度除2一直到有出现1个元素的时候，将这个长度为1的子列表和另外一个长度为1的子列表进行元素比较；然后每次向上整合的时候将子列表再进入递归去比较，直到回到最外层全部整合完毕，最后合并成一个最终的排序序列，具体可以看下面的示例分析）；

图片参考：
https://img2020.cnblogs.com/blog/163625/202110/163625-20211025135024379-780850807.png

如上面链接的图所示，对列表里的数字一直对半，比如8个，分成2个4位数字为一组，然后每个4位一组的再细分为两个2位为一组，8-(4,4)-((2,2),(2,2))， 一直分到只有两个数字相互比较，排好顺序后回到上一层合并，合并的同时重新对这层数字比较再回到上层。

merge()里面也看到有例子用了pop方法，就不用i,j了，但是pop的效率一向不高，不建议使用，而且也省不了几行代码。

def merge(left, right):
    # 合并两个有序列表
    res = []
    # i,j是用于两个列表循环计数
    i, j = 0, 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            res.append(left[i])
            i += 1
        else:
            res.append(right[j])
            j += 1

    # 由于条件是and，只要其中一个不符合就没得继续比较，就会跳出循环
    # 所以剩下的需要额外添加
    res += right[j:] if i == len(left) else left[i:]
    return res

def mergeSort(arr):
    # 归并函数递归
    n = len(arr)
    if n < 2:
        return arr
    middle = n // 2
    # 将列表对半，并分别递归调用归并函数后合并
    # 奇数时，总是right比left多1
    left, right = arr[:middle], arr[middle:]
    return merge(mergeSort(left), mergeSort(right))

打印结果如下：

解析如下：

1、假设未排序列表为[45,66,21,34,9,2,56,28,17,24,36,34]，列表长度为12。且由于代码我们的写法，当列表长度为奇数时，多的那个都会在右边。

2、如红框这段过程所示，我们可以得知，在不断对折后，长度变化为12-(6,6),((3,3),(3,3)),((1,(1,1)),(1,(1,1)))。

3、当走到两个列表长度为1和2时，即[45],[66,21]，会继续对更大的那个长度为2的[66,21]进行比较，所以这里比较完返回的就是[21,66]。

4、然后比较完会回到上一层，即长度为1和2时的[45],[21,66]。

5、进入while循环，45先和21比较大小，更小的21被append到res里，然后45又和66比，res加入45，最后加入66。而不是45先和66比，再和21比。

6、所以，根据规律，[45, 66, 21, 34, 9, 2]分成[45, 66, 21]和[34, 9, 2]，做完排序分别得到[21, 45, 66]和 [2, 9, 34]。

7、[21, 45, 66]和 [2, 9, 34]这两组向上整合，又会进入到while循环，21和2比较完后，依次跟9、34比较，2和9先被添加到res里，直到34比21大，21被添加到res里。45才和34开始比较，依次类推，重新整最后合成[2, 9, 21, 34, 45, 66]。

8、同6、7，另外一半的[56, 28, 17, 24, 36, 34, 22]同理得到[17, 28, 56],和[22, 24, 34, 36]，最后整合得到[17, 22, 24, 28, 34, 36, 56]。

8、最后[2, 9, 21, 34, 45, 66]和[17, 22, 24, 28, 34, 36, 56]向上整合后同6、7、8步，得到[2, 9, 17, 21, 22, 24, 28, 34, 34, 36, 45, 56, 66]。

各个算法的时间复杂度

已经有人根据算法不同情况做了表格：https://img2020.cnblogs.com/blog/1671325/202003/1671325-20200324112634522-1413571134.png

根据时间复杂度粗略看有哪些算法：

时间复杂度	意义	算法
O(1)	常数阶	哈希
O(log n)	对数阶	二分查找
O(n)	线性阶	for循环
O(nlog n)	线性对数阶	快速排序、归并排序、希尔排序 、堆排序
O(n^2)	平方阶	冒泡排序、插入排序、选择排序

=

这是我在另外一篇文章里总结的关于不同时间复杂度的内容：

附：二分法

刚刚的表里提到了二分法，虽然它不是一种排序算法，甚至是基于已排序好的序列，来进行查找的一种算法。这里也附上一个：

原理是每次取列表中间值mid，用来与需要判断的数做比较，如果search_num不等于mid，则mid就是下次查找的列表里的start或end。每次都可以去掉一半的结果。

def binary_search(arr, search_num):
    low, high = 0, len(arr) - 1
    while low < high:
        print(low, high)
        mid = (low + high) // 2
        if arr[mid] > search_num:
            high = mid
        elif arr[mid] < search_num:
            low = mid + 1
        else:
            return mid
    return low if arr[low] == search_num else False

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参考链接：

1、希尔排序（这篇是所有Python实现希尔算法的里写的最清楚的，图片更一目了然，文章里的图片也来源于这篇）：https://www.dandelioncloud.cn/article/details/1515512897961775106
2、归并排序：https://blog.csdn.net/A496608119/article/details/123213879